Alternativa D - Os polos estão posicionados em -0,425 + j0,243 e em -0,425 - j0,243.
Análise Didática
Para responder a esta questão, precisamos analisar a função de transferência do sistema discreto fornecida na imagem:
G(z) = \frac{z + 2}{z^2 + 0,85z + 0,24}
A análise envolve encontrar os zeros e os polos do sistema, que são respectivamente as raízes do numerador e do denominador.
1. Localização dos Zeros
Os zeros são obtidos igualando o numerador a zero:
Isso indica que o zero está localizado em -2.
- Conclusão: A alternativa C está incorreta, pois afirma que o zero é em +2.
2. Localização dos Polos
Os polos são obtidos resolvendo a equação característica (denominador igual a zero):
z^2 + 0,85z + 0,24 = 0
Utilizamos a Fórmula de Bhaskara (z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}), onde:
Primeiro, calculamos o discriminante (\Delta):
\Delta = b^2 - 4ac
\Delta = (0,85)^2 - 4(1)(0,24)
\Delta = 0,7225 - 0,96
\Delta = -0,2375
Como \Delta < 0, temos raízes complexas conjugadas. Isso descarta imediatamente a alternativa B, que propõe polos reais (-1,073 e 0,223).
Agora, calculamos os valores exatos dos polos:
z = \frac{-0,85 \pm \sqrt{-0,2375}}{2}
z = \frac{-0,85 \pm j\sqrt{0,2375}}{2}
Calculando as aproximações numéricas:
- Parte Real: \frac{-0,85}{2} = -0,425
- Parte Imaginária: \frac{\sqrt{0,2375}}{2} \approx \frac{0,4873}{2} \approx 0,2436
Portanto, os polos são aproximadamente:
z_{1,2} = -0,425 \pm j0,243
Isso confirma perfeitamente a descrição da Alternativa D.
3. Estabilidade do Sistema (Análise Extra)
Em sistemas discretos, um sistema é estável se todos os seus polos estiverem dentro do círculo unitário no plano Z (ou seja, módulo |z| < 1).
Podemos verificar o módulo dos polos sem precisar fazer a raiz quadrada da soma dos quadrados, usando a propriedade do produto das raízes (p_1 \cdot p_2 = c/a):
- Produto dos polos = $0,24 / 1 = 0,24$
- Como são complexos conjugados, |p|^2 = 0,24 \Rightarrow |p| = \sqrt{0,24} \approx 0,49
Como $0,49 < 1$, o sistema é estável.
- Conclusão: A alternativa A está incorreta ao dizer que o sistema é instável. A alternativa E também está incorreta pois pudemos concluir a estabilidade.
Conclusão
A única afirmação matematicamente correta, baseada no cálculo das raízes do polinômio característico, é a de que os polos possuem parte real negativa e parte imaginária não nula, conforme calculado acima.
Alternativa D