Alternativa D
Para resolver esta questão, aplicamos o método de discretização bilinear, também conhecido como Transformada de Tustin. Este método mapeia o plano s (contínuo) para o plano z (discreto) através de uma aproximação geométrica.
Fundamentação Teórica
O método bilinear utiliza a seguinte relação entre as variáveis s e z:
s = \frac{2}{T} \cdot \frac{z-1}{z+1}
Onde:
- T é o período de amostragem.
- z é a variável no domínio discreto.
No enunciado, temos:
- Função original: G(s) = \frac{s-1}{s+4}
- Período de discretização: T = 0,1 s
Desenvolvimento do Cálculo
1. Substituição do valor de T
Calculamos o fator \frac{2}{T}:
\frac{2}{0,1} = 20
Portanto, a substituição de s torna-se:
s = 20 \cdot \frac{z-1}{z+1}
2. Aplicação na Função de Transferência
Substituímos s na equação de G(s):
G(z) = \frac{\left( 20 \cdot \frac{z-1}{z+1} \right) - 1}{\left( 20 \cdot \frac{z-1}{z+1} \right) + 4}
3. Simplificação da Fração Complexa
Para eliminar a fração interna, multiplicamos todo o numerador e todo o denominador por (z+1):
G(z) = \frac{20(z-1) - 1(z+1)}{20(z-1) + 4(z+1)}
Expandindo os parênteses:
- Numerador: $20z - 20 - z - 1 = 19z - 21$
- Denominador: $20z - 20 + 4z + 4 = 24z - 16$
Assim, obtemos:
G(z) = \frac{19z - 21}{24z - 16}
4. Normalização
Para comparar com as alternativas, precisamos deixar o coeficiente de z no denominador igual a 1. Para isso, dividimos toda a fração por 24:
G(z) = \frac{\frac{19}{24}z - \frac{21}{24}}{z - \frac{16}{24}}
Realizando as divisões para obter os valores decimais:
- \frac{19}{24} \approx 0,791
- \frac{21}{24} = 0,875
- \frac{16}{24} = \frac{2}{3} \approx 0,666
Substituindo esses valores na equação:
G(z) = \frac{0,791z - 0,875}{z - 0,666}
Análise das Alternativas
Comparando nosso resultado final com as opções apresentadas:
| Característica | Nosso Resultado | Alternativa D |
|---|
| Coeficiente de z (Num) | $0,791$ | $0,791$ |
| Termo Constante (Num) | -0,875 | -0,875 |
| Termo Constante (Denom) | -0,666 | -0,666 |
As outras alternativas possuem sinais incorretos nos termos constantes ou no denominador.
Conclusão
A alternativa correta é a D, pois representa fielmente a conversão do sistema contínuo para o discreto utilizando o método bilinear com os parâmetros fornecidos.