Dada a função $f(x) = e^x$, a equação da reta tangente ao gráfico no ponto de abscissa zero é:

Question

Dada a função $f(x) = e^x$, a equação da reta tangente ao gráfico no ponto de abscissa zero é: A) y = x B) y = x C) y = 1 D) y = x 1 E) y = x + 1

Sapien IA · Accepted Answer

Alternativa E $y = x + 1$ Para encontrar a equação da reta tangente a um gráfico em um determinado ponto, precisamos de duas informações essenciais: as coordenadas do ponto de tangência e o coeficiente angular (inclinação) da reta nesse ponto. No caso desta questão envolvendo uma função exponencial, aplicamos conceitos de cálculo diferencial para determinar esses valores. Desenvolvimento O processo de resolução segue três etapas lógicas que garantem a precisão da resposta: 1. Determinar o ponto de tangência : Avaliamos a função dada no valor da abscissa informado ($x = 0$). 2. Calcular a inclinação da reta : Calculamos a derivada da função e avaliamos no mesmo ponto para encontrar a taxa de variação instantânea. 3. Escrever a equação da reta : Utilizamos a forma ponto inclinação para montar a equação final. Vamos aplicar cada passo detalhadamente abaixo. Análise Detalhada Passo 1: Coordenadas do Ponto A função é $f(x) = e^x$. O ponto tem abscissa $x 0 = 0$. Calculamos a ordenada substituindo na função: $y 0 = f(0) = e^0$. Sabendo que qualquer número elevado a zero é igual a 1, temos $y 0 = 1$. Portanto, o ponto de tangência é $(0, 1)$ . Passo 2: Coeficiente Angular (Derivada) O coeficiente angular $m$ da reta tangente é dado pelo valor da derivada $f'(x)$ no ponto. A derivada da função exponatural $f(x) = e^x$ é ela mesma: $f'(x) = e^x$. Avaliamos a derivada em $x = 0$: $m = f'(0) = e^0$. Novamente, $e^0 = 1$. Logo, o coeficiente angular é $m = 1$ . Passo 3: Equação da Reta Usamos a fórmula geral da reta: $y y 0 = m \cdot (x x 0)$. Substituímos os valores encontrados: $y 1 = 1 \cdot (x 0)$. Simplificando a expressão: $y 1 = x$. Isolando o $y$, obtemos a forma reduzida da reta: $y = x + 1$ . Conclusão Comparando o resultado obtido com as alternativas apresentadas: | Alternativa | Equação | Correta? | | : | : | : | | A | $y = x$ | Não | | B | $y = x$ | Não | | C | $y = 1$ | Não (Corresponde a uma reta horizontal) | | D | $y = x 1$ | Não | | E | $y = x + 1$ | Sim | A alternativa marcada na imagem (C) está incorreta, pois representa uma reta horizontal ($m=0$), enquanto nossa análise demonstrou que a inclinação é positiva ($m=1$). A resposta correta matemática é a letra E .

Explicação passo a passo

Desenvolvimento

Análise Detalhada

Conclusão

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Tem outra questão de Matemática — Cálculo?

Alternativa	Equação	Correta?
A	$y = -x$	Não
B	$y = x$	Não
C	$y = 1$	Não (Corresponde a uma reta horizontal)
D	$y = x - 1$	Não
E	$y = x + 1$	Sim