Dada a função f(x) = { x⁻¹ para x ≠ 1 3, para x = 1 determine limₓ→₁ f(x)

Alternativa C

Para determinar o limite \lim_{x \to 1} f(x), precisamos analisar o comportamento da função quando x se aproxima de 1, sem necessariamente chegar a ele.

Análise do Limite

No cálculo de limites, o valor da função exatamente no ponto x=1 (que é definido como 3 no enunciado) não interfere no resultado do limite. O que importa é a expressão da função para valores próximos de 1, onde x \neq 1.

Portanto, devemos calcular o limite da parte racional da função:
\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{x^2-1}

Ao substituir diretamente x=1, obtemos uma indeterminação do tipo \frac{0}{0}:
\frac{1-1}{1^2-1} = \frac{0}{0}

Para resolver essa indeterminação, utilizamos a fatoração da diferença de quadrados no denominador (a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)):
x^2 - 1 = (x-1)(x+1)

Assim, a expressão torna-se:
\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{(x-1)(x+1)}

Podemos cancelar o termo (x-1) tanto no numerador quanto no denominador (já que x \neq 1):
\lim_{x \to 1} \frac{1}{x+1}

Agora, realizamos a substituição novamente:
\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}

Conclusão

O limite da função quando x tende a 1 é igual a \frac{1}{2}. A alternativa que corresponde a esse valor é a C.