Dada a relação x² + y² + xy + y = 1, indique uma expressão para a derivada y'.

Alternativa E

Para resolver esta questão, utilizamos o método de Derivação Implícita, pois a variável y não está isolada em função de x.

Passo a Passo da Resolução

1. Derivar a equação em relação a $x$
Partimos da equação dada:
x^2 + xy + y^2 = 1

Aplicamos a derivada \frac{d}{dx} em cada termo:

• Termo x^2: A derivada é $2x$.
• Termo xy: Aplicamos a Regra do Produto (uv)' = u'v + uv'.
• (x)' \cdot y + x \cdot (y)'
• $1 \cdot y + x \cdot y'$
• Resultado: y + xy'
• Termo y^2: Aplicamos a Regra da Cadeia.
• \frac{d}{dx}(y^2) = 2y \cdot y'
• Lado direito ($1$): A derivada de uma constante é $0$.

2. Montar a nova equação
Substituindo os resultados acima:
2x + (y + xy') + 2yy' = 0

3. Isolar o termo $y'$
Agrupamos todos os termos que contêm y' de um lado e os outros do outro:

Fatoramos o y':

Dividimos por (x + 2y) para deixar y' isolado:

Conclusão
Comparando o resultado obtido com as alternativas, identificamos que a expressão corresponde exatamente à Alternativa E.