Dada a relação $x^2 + xy + y^2 = 1$, indique uma expressão para a derivada $y'$.

Alternativa A

Para encontrar a derivada y' dada pela equação x^2 + xy + y^2 = 1, utilizamos o método da derivação implícita. Como y é uma função de x, ao derivarmos os termos que contêm y, precisamos aplicar a regra da cadeia.

O processo envolve diferenciar cada termo da equação em relação a x. O termo constante à direita ($1$) torna-se zero, enquanto os termos com variáveis geram expressões envolvendo y'.

Análise

• Derivada de x^2: Aplicando a potência direta, temos \frac{d}{dx}(x^2) = 2x.
• Derivada de xy: Utilizamos a regra do produto (uv)' = u'v + uv'. Aqui, u=x e v=y. Assim, \frac{d}{dx}(xy) = 1 \cdot y + x \cdot y' = y + xy'.
• Derivada de y^2: Aplicamos a regra da cadeia, pois y depende de x. Logo, \frac{d}{dx}(y^2) = 2y \cdot y'.
• Isolamento de y': Agrupamos os termos com y' no lado esquerdo e passamos os outros para o direito:
  2x + y + xy' + 2yy' = 0
  y'(x + 2y) = -(2x + y)
  y' = -\frac{2x + y}{x + 2y}

Ao comparar este resultado com as opções apresentadas na imagem, verificamos que a estrutura corresponde exatamente à alternativa A, onde o numerador contém $2x+y$ e o denominador contém x+2y, ambos precedidos pelo sinal negativo.

Alternativa A.