Dadas as funções: f(x) = sen(ln(x)), g(x) = ⁵√(ln(x)) e h(x) = log₁₀(x³ + 1). Analise as afirmativas seguintes.

Question

Sapien IA · Accepted Answer

Análise da Questão

A questão apresenta três funções e solicita a verificação das derivadas corretas para cada uma delas. Vamos analisar cada item utilizando as regras de derivação padrão, especificamente a Regra da Cadeia e as propriedades dos logaritmos.

1. Análise da Função $f(x)$ (Item I)

A função dada é $f(x) = \text{sen}(\ln(x))$ . Para encontrar a derivada $f'(x)$ , aplicamos a regra da cadeia: derivada da função composta externa multiplicada pela derivada da função interna.

f'(x) = \frac{d}{dx}[\text{sen}(\ln(x))]

f'(x) = \cos(\ln(x)) \cdot \frac{d}{dx}[\ln(x)]

Sabemos que a derivada do logaritmo natural é $\frac{1}{x}$ . Logo:

f'(x) = \cos(\ln(x)) \cdot \frac{1}{x} = \frac{\cos(\ln(x))}{x}

O resultado coincide exatamente com a afirmação I. Portanto, esta afirmação é CORRETA.

2. Análise da Função $g(x)$ (Item II)

A função dada é $g(x) = \sqrt[5]{\ln(x)}$ . Podemos reescrevê-la usando um expoente fracionário para facilitar a derivação:

g(x) = (\ln(x))^{\frac{1}{5}}

Aplicando a regra da potência e a regra da cadeia:

g'(x) = \frac{1}{5}(\ln(x))^{\frac{1}{5} - 1} \cdot \frac{d}{dx}[\ln(x)]

g'(x) = \frac{1}{5}(\ln(x))^{-\frac{4}{5}} \cdot \frac{1}{x}

Transformando o expoente negativo de volta para radical:

g'(x) = \frac{1}{5x (\ln(x))^{\frac{4}{5}}} = \frac{1}{5x \sqrt[5]{(\ln x)^4}}

A afirmação II apresenta $g'(x) = \frac{1}{5x\sqrt[5]{\ln x}}$ , o que corresponde a um expoente de $1/5$ no denominador, e não $4/5$. Portanto, a afirmação II está INCORRETA.

3. Análise da Função $h(x)$ (Item III)

A função dada é $h(x) = \log_{10}(x^3 + 1)$ . É crucial lembrar da fórmula geral para a derivada de um logaritmo de base $a$ :

(\log_a(u))' = \frac{u'}{u \cdot \ln(a)}

No caso da questão, $a = 10$ e $u = x^3 + 1$ . A derivada de $u$ é $3x^2$. Aplicando a fórmula:

h'(x) = \frac{3x^2}{(x^3 + 1) \cdot \ln(10)}

A afirmação III apresenta $h'(x) = \frac{3x^2}{(x^3+1)}$ , omitindo o termo essencial $\ln(10)$ no denominador. Isso é um erro comum ao confundir logaritmo natural ( $\ln$ ) com logaritmo decimal ( $\log_{10}$ ). Portanto, a afirmação III está INCORRETA.

Conclusão

Com base nas derivações realizadas:

Afirmação I: Verdadeira
Afirmação II: Falsa
Afirmação III: Falsa

A única afirmação correta é a primeira. Em uma prova de múltipla escolha, você deve procurar a alternativa que indique "Apenas I" ou similar.

Alternativa [APENAS I]

Explicação passo a passo

Resumo da resposta

Análise da Questão

1. Análise da Função $f(x)$ (Item I)

2. Análise da Função $g(x)$ (Item II)

3. Análise da Função $h(x)$ (Item III)

Conclusão

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Dadas as funções: f(x) = sen(ln(x)), g(x) = ⁵√(ln(x)) e h(x) = log₁₀(x³ + 1). Analise as afirmativas seguintes.

Explicação passo a passo

Resumo da resposta

Análise da Questão

1. Análise da Função f(x) (Item I)

2. Análise da Função g(x) (Item II)

3. Análise da Função h(x) (Item III)

Conclusão

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1. Análise da Função $f(x)$ (Item I)

2. Análise da Função $g(x)$ (Item II)

3. Análise da Função $h(x)$ (Item III)