Dado a região R = [0, π/2] x [0, π/2] calcule ∬R sin x cos y dA

Alternativa C

Esta questão envolve o cálculo de uma integral dupla definida em uma região retangular. A função integranda é separável, o que permite tratar as variáveis x e y de forma independente e simplificar o processo computacional.

O teorema de Fubini garante que, para regiões retangulares, podemos calcular a integral iterada dividindo-a em produtos de integrais simples. Assim, o problema reduz-se a avaliar dois limites de integração trigonométrica básicos dentro do primeiro quadrante.

Análise Detalhada

• Separação da integral:
  A integral dupla pode ser reescrita como o produto de duas integrais definidas unidimensionais:
  \iint_R \sin x \cos y \, dA = \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx \right) \cdot \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos y \, dy \right)
• Cálculo da primeira parte (variável x):
  O anti-derivado de \sin x é -\cos x. Aplicando os limites de integração:
  \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - (-\cos(0))
  Sabendo que \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 e \cos(0) = 1, temos:
  = 0 + 1 = 1
• Cálculo da segunda parte (variável y):
  O anti-derivado de \cos y é \sin y. Aplicando os limites de integração:
  \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos y \, dy = [\sin y]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0)
  Sabendo que \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 e \sin(0) = 0, temos:
  = 1 - 0 = 1
• Resultado Final:
  Multiplicando os resultados das duas integrais isoladas, obtemos o valor total da integral:
  1 \cdot 1 = 1

Portanto, o valor da integral é exatamente 1, o que corresponde à alternativa C.