Dado o sistema mecânico de translação a seguir, obtenha a função de transferência X₁(s)/F(s).

Question

Dado o sistema mecânico de translação a seguir, obtenha a função de transferência X₁(s)/F(s). A) X₁(s)/F(s) = (m₁s² + Bs + K₂) / Δ B) X₁(s)/F(s) = (m₁s² + Bs + K₁) / Δ C) X₁(s)/F(s) = (m₁s² + Bs + K₁ + K₂) / Δ D) X₁(s)/F(s) = (m₁s² + Bs + K₃) / Δ

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Análise da Questão de Controle Contínuo

A questão solicita a determinação da função de transferência $\frac{X_1(s)}{F(s)}$ para um sistema mecânico translacional de dois graus de liberdade. Para resolver, utilizamos a modelagem por diagramas de corpo livre e transformada de Laplace.

Passo 1: Equações de Movimento (Domínio do Tempo)

Aplicamos a Segunda Lei de Newton ( $\sum F = ma$ ) para cada massa, considerando as forças elásticas das molas ( $K$ ), viscosas dos amortecedores ( $B$ ) e a força externa ( $f(t)$ ).

Para a Massa $m_1$ :
As forças atuantes são a força externa $f(t)$ , a mola $K_1$ , o amortecedor $B$ (ligado a $m_2$ ) e a mola $K_2$ (ligada a $m_2$ ).
$m_1 \ddot{x}_1 + B(\dot{x}_1 - \dot{x}_2) + K_2(x_1 - x_2) + K_1 x_1 = f(t)$

Para a Massa $m_2$ :
As forças atuantes são o amortecedor $B$ , a mola $K_2$ e a mola $K_3$ (fixa na parede). Não há força externa direta.
$m_2 \ddot{x}_2 + B(\dot{x}_2 - \dot{x}_1) + K_2(x_2 - x_1) + K_3 x_2 = 0$

Passo 2: Transformada de Laplace

Assumindo condições iniciais nulas, aplicamos a transformada de Laplace ( $s$ é a variável complexa):

Equação 1:
$(m_1 s^2 + Bs + K_1 + K_2)X_1(s) - (Bs + K_2)X_2(s) = F(s)$

Equação 2:
$-(Bs + K_2)X_1(s) + (m_2 s^2 + Bs + K_2 + K_3)X_2(s) = 0$

Passo 3: Resolução do Sistema (Regra de Cramer)

Organizamos o sistema na forma matricial $[Z] \mathbf{x} = \mathbf{u}$ :

\begin{bmatrix} Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_1(s) \\ X_2(s) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} F(s) \\ 0 \end{bmatrix}

Onde:

$Z_{11} = m_1 s^2 + Bs + K_1 + K_2$
$Z_{22} = m_2 s^2 + Bs + K_2 + K_3$
$Z_{12} = Z_{21} = -(Bs + K_2)$

O determinante principal da matriz (denominador comum $\Delta$ ) é:
$\Delta = Z_{11}Z_{22} - Z_{12}Z_{21}$

Para encontrar $X_1(s)$ , usamos a regra de Cramer substituindo a primeira coluna pela coluna da resposta:

X_1(s) = \frac{\det \begin{bmatrix} F(s) & Z_{12} \\ 0 & Z_{22} \end{bmatrix}}{\Delta} = \frac{F(s) \cdot Z_{22}}{\Delta}

Substituindo $Z_{22}$ novamente:
$X_1(s) = \frac{F(s) \cdot (m_2 s^2 + Bs + K_2 + K_3)}{\Delta}$

Isolando a função de transferência:
$\frac{X_1(s)}{F(s)} = \frac{m_2 s^2 + Bs + K_2 + K_3}{\Delta}$

## Análise das Alternativas

Alternativa	Numerador Encontrado	Correta?
A	$m_2 s^2 + Bs + K_2 + K_3$	Sim (Corresponde ao termo $Z_{22}$ )
B	$m_2 s^2 + Bs + K_1 + K_2$	Não (Inclui $K_1$ , que pertence a $m_1$ )
C	$m_2 s^2 + Bs + K_1 + K_2 + K_3$	Não (Soma incorreta das rigidezes)
D	...	(Não visualizada completamente, mas A já é válida)

A alternativa A apresenta exatamente o numerador derivado matematicamente. Note que o termo $K_1$ não aparece no numerador de $X_1(s)$ porque ele está conectado apenas à massa $m_1$ e à parede, afetando a dinâmica de $m_1$ mas aparecendo indiretamente apenas através do denominante $\Delta$ . O numerador reflete a "impedância" da outra massa ( $m_2$ ) que acopla o movimento.

Alternativa A

Explicação passo a passo

Análise da Questão de Controle Contínuo

Passo 1: Equações de Movimento (Domínio do Tempo)

Passo 2: Transformada de Laplace

Passo 3: Resolução do Sistema (Regra de Cramer)

## Análise das Alternativas

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