Dado que a coordenada x_v da função f(x) = 5x² - 20x é 2, qual é a coordenada y_v dessa mesma função?

Resumo da Resposta

A coordenada y_v da função é -20. Este valor é encontrado calculando a imagem do número x_v dentro da expressão da função.

Análise Detalhada

O problema trata de uma função quadrática (polinomial do 2º grau), representada por uma parábola. Para encontrar a coordenada y_v do vértice, utilizamos a relação direta entre as coordenadas do vértice (x_v, y_v) e a função f(x).

Passo a Passo do Cálculo

1. Identificar os dados:

• Função: f(x) = 5x^2 - 20x
• Coordenada x_v: $2$
• Coeficientes: a = 5, b = -20, c = 0

1. Entender o conceito:

• O vértice é um ponto que pertence ao gráfico da função.
• Portanto, se substituímos x pelo valor de x_v, obtemos automaticamente o valor de y_v.
• Fórmula: y_v = f(x_v)

1. Realizar a substituição:
   y_v = 5(2)^2 - 20(2)
2. Efetuar as operações matemáticas:

• Potência: $2^2 = 4$
• Multiplicação: $5 \times 4 = 20$ e $20 \times 2 = 40$
• Subtração: $20 - 40 = -20$

Método Alternativo (Discriminante)

Você também pode utilizar a fórmula geral para a ordenada do vértice usando o discriminante (\Delta):

• Onde \Delta = b^2 - 4ac
• \Delta = (-20)^2 - 4(5)(0) = 400 - 0 = 400
• y_v = \frac{-400}{4(5)} = \frac{-400}{20} = -20

Ambos os métodos confirmam o resultado.

Conclusão

A coordenada y_v corresponde ao valor mínimo da função (já que a > 0, a parábola tem concavidade para cima). O valor correto para preencher a caixa é:

-20