Dado um sistema com realimentação unitária que possui a seguinte equação de transferência: G(s) = K(s-2)(s-1) / s(s+2)(s+8) Determine o ponto de cruzamento dos polos com o eixo imaginário.

Alternativa E

O problema solicita a determinação do ponto onde os polos do lugar das raízes cruzam o eixo imaginário no plano complexo. Isso ocorre quando o sistema está na margem da estabilidade, ou seja, quando existem raízes puramente imaginárias na equação característica.

Para resolver, utilizaremos o Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz, que permite identificar o valor do ganho K e a frequência \omega nessas condições críticas.

Desenvolvimento

Primeiro, devemos estabelecer a equação característica do sistema em malha fechada. Para uma realimentação unitária (H(s)=1), a condição de estabilidade é dada por:

Substituindo a função de transferência fornecida:

Multiplicando pelo denominador para obter o polinômio característico:

Expandindo os termos:

Agrupando os coeficientes pelas potências de s:

Análise

Com a equação polinomial definida, construímos a tabela de Routh para encontrar a condição de estabilidade marginal (cruzamento do eixo imaginário):

• Linha s^3: Coeficientes $1$ e (16 - 3K)
• Linha s^2: Coeficientes (10 + K) e $2K$
• Linha s^1: Calculamos o elemento b_1:
  b_1 = \frac{(10 + K)(16 - 3K) - (1)(2K)}{10 + K}

Para que haja cruzamento no eixo imaginário, o termo da linha s^1 deve ser zero (primeira coluna nula):

Desenvolvendo a equação quadrática para K:

Aplicando a fórmula de Bhaskara para encontrar o valor positivo de K:

Uma vez encontrado K, usamos a equação auxiliar formada pela linha s^2 anterior à linha nula para determinar a frequência de oscilação \omega:

Substituindo K \approx 5,108:

Como s = j\omega, temos s^2 = -\omega^2:

Portanto, os pontos de cruzamento são \pm j0,822.

Conclusão

O cálculo confirma que a frequência de cruzamento com o eixo imaginário é aproximadamente $0,822$ rad/s. Isso corresponde exatamente à alternativa apresentada.

Alternativa E