Derivar funções compostas é um processo que requer muito cuidado em cada etapa. Esse tipo de função é derivada fazendo o uso da cadeia. No caso de funções de duas variáveis, temos que observar quais são as variáveis independentes, as variáveis intermediárias e a variável dependente. Sabemos que podemos escrever z = f(x,y). Se f(x,y) = y² - 3x e x = r cos(t) e y = r sen(t), assinale a alternativa correta.

Alternativa A - As variáveis r e t são as variáveis independentes.

Análise da Questão

A questão aborda a Regra da Cadeia para funções compostas de várias variáveis. Para responder corretamente, precisamos identificar a hierarquia entre as variáveis envolvidas no sistema de equações apresentado.

Hierarquia das Variáveis

Em uma função composta onde temos uma dependência encadeada, a estrutura segue esta lógica:

1. Variáveis Independentes: São as variáveis fundamentais que não dependem de nenhuma outra dentro do sistema. Elas são a "base" da cadeia.
2. Variáveis Intermediárias: São variáveis que dependem das independentes, mas servem como entrada para a função final.
3. Variável Dependente: É o resultado final da composição.

Aplicação ao Enunciado

Vamos analisar as equações fornecidas:

• z = f(x, y)
• x = r \cos(t)
• y = r \sin(t)

Podemos visualizar o fluxo de dependência assim:

Verificação das Alternativas

• A) As variáveis r e t são as variáveis independentes.
• Correta. Como visto acima, elas formam a base do sistema.
• B) A variável z é a variável independente.
• Incorreta. z depende de x e y.
• C) As variáveis x e y são as variáveis dependentes.
• Embora tecnicamente dependam de r e t, no contexto da função composta z=f(x,y), elas são classicamente denominadas variáveis intermediárias. A alternativa A é a definição exata e direta para r e t.
• D) As variáveis r e t são as variáveis intermediárias.
• Incorreta. Elas são a fonte (independentes).
• E) A variável z é a variável intermediária.
• Incorreta. z é a variável dependente final.

Conclusão:
A única afirmação correta e precisa sobre a classificação das variáveis na estrutura dada é que r e t são as variáveis independentes.