Derivar funções compostas é um processo que requer muito cuidado em cada etapa. No caso de funções de duas variáveis, temos que observar quais são as variáveis independentes e a variável dependente. Sabemos que podemos escrever z = f(x,y) = x² + 3xy. Se f(x,y) = x² + 3xy, x = r cos(t) e y = r sen(t), assinale a alternativa correta.

Alternativa A

Para entender a resposta, precisamos analisar a hierarquia de dependência estabelecida nas funções compostas apresentadas no enunciado.

Análise da Composição Funcional

O problema descreve um sistema onde temos uma função z que depende de x e y, e estes por sua vez dependem de r e t. A estrutura lógica é a seguinte:

Onde:
x = g(r, t) = r \cos(t)
y = h(r, t) = r \sin(t)

Isso cria uma cadeia de dependências que define os papéis de cada variável:

1. Variáveis Independentes (r e t): São os valores de entrada fundamentais. Podemos escolher qualquer valor para r e t livremente, e isso determinará tudo o resto. Elas estão na base da cadeia.
2. Variáveis Intermediárias (x e y): Elas servem como elo de ligação. Seus valores dependem diretamente das variáveis independentes (r e t), e seus próprios valores determinam o resultado final. No contexto da regra da cadeia, elas são chamadas de intermediárias.
3. Variável Dependente (z): É o resultado final da operação. Seu valor só pode ser conhecido depois que calculamos x e y. Ela depende de todas as anteriores.

Verificação das Alternativas

• A) Correta. Como explicado acima, r e t são os parâmetros iniciais que controlam todo o sistema, sendo portanto as variáveis independentes.
• B) Incorreta. z é o resultado final, logo é a variável dependente, não a independente.
• C) Incorreta (no contexto técnico). Embora x e y dependam de r e t, o termo técnico preciso para variáveis que conectam as independentes à dependente final é "variáveis intermediárias". Em múltipla escolha, quando há a opção A correta e clara, esta é a definição preferencial.
• D) Incorreta. r e t são a base, não o elo intermediário.
• E) Incorreta. z é a variável dependente final, não intermediária.

Resumo: Na composição z(r, t) via x e y, temos r, t como independentes, x, y como intermediárias e z como dependente.