Determine a área entre a função g(x) = 2tgx, o eixo x e as retas x = -π/4 e x = π/4.

Alternativa A - $2 \ln(2)$

Para calcular a área geométrica delimitada pela curva e o eixo x, é necessário integrar o valor absoluto da função no intervalo dado. Isso garante que áreas abaixo do eixo sejam somadas positivamente.

Desenvolvimento Matemático

O problema pede a área para g(x) = 2 \tan x entre x = -\frac{\pi}{4} e x = \frac{\pi}{4}.

1. Análise de Simetria: A função tangente é ímpar (\tan(-x) = -\tan(x)). O intervalo é simétrico em torno da origem.
2. Cálculo da Área: Como a função cruza o eixo x em x=0, calculamos a área de um lado e multiplicamos por 2.
   A = 2 \times \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2 \tan(x) \, dx
   A = 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \, dx

Análise dos Passos

• Integral Indefinida: A primitiva de \tan(x) é \ln|\sec(x)| ou -\ln|\cos(x)|.
  \int \tan(x) \, dx = \ln|\sec(x)|
• Aplicação dos Limites: Substituímos os valores de $0$ e \frac{\pi}{4}.
  \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \, dx = [\ln|\sec(x)|]_{0}^{\frac{\pi}{4}}
  = \ln(\sec(\frac{\pi}{4})) - \ln(\sec(0))
• Valores Trigonométricos: Sabemos que \sec(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} e \sec(0) = 1.
  = \ln(\sqrt{2}) - \ln(1)
  = \ln(2^{1/2}) - 0 = \frac{1}{2}\ln(2)
• Resultado Final: Multiplicamos pelo fator $4$ determinado inicialmente.
  A = 4 \times \left( \frac{1}{2}\ln(2) \right) = 2 \ln(2)

Portanto, a área total é igual a $2 \ln(2)$.