Determine a corrente i de um circuito, dada sua equação diferencial: d²i/dt² - (di/dt) - 6i = 0, sabendo que i(0)=2 e i'(0)=-1.

Alternativa D - \frac{3}{5}e^{3t} + \frac{7}{5}e^{-2t}

Introdução

Para determinar a corrente i(t) de um circuito a partir de sua equação diferencial, usamos a Transformada de Laplace. A equação dada é linear de segunda ordem: \frac{d^2i}{dt^2} - \frac{di}{dt} - 6i = 0, com condições iniciais i(0) = 2 e i'(0) = -1.

Desenvolvimento

1. Aplicar a Transformada de Laplace nas derivadas da equação:

• \mathcal{L}\{i''\} = s^2I(s) - si(0) - i'(0)
• \mathcal{L}\{i'\} = sI(s) - i(0)
• \mathcal{L}\{i\} = I(s)

Substituindo na equação diferencial:
[s^2I(s) - 2s + 1] - [sI(s) - 2] - 6I(s) = 0

1. Simplificar e resolver para I(s):
   Combine termos semelhantes:
   s^2I(s) - sI(s) - 6I(s) - 2s + 3 = 0
   I(s)(s^2 - s - 6) = 2s - 3

O fator s^2 - s - 6 se分解 em (s - 3)(s + 2), então:
I(s) = \frac{2s - 3}{(s - 3)(s + 2)}

1. Descompor em frações parciais:
   \frac{2s - 3}{(s - 3)(s + 2)} = \frac{A}{s - 3} + \frac{B}{s + 2}

Resolvendo para A e B, encontramos A = \frac{3}{5} e B = \frac{7}{5}.

1. Transformada inversa de Laplace:
   i(t) = \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{3/5}{s - 3} + \frac{7/5}{s + 2}\right\} = \frac{3}{5}e^{3t} + \frac{7}{5}e^{-2t}

Análise

• A equação diferencial linear é resolvida via Transformada de Laplace, que converte derivadas em polinômios.
• As condições iniciais são essenciais para determinar as constantes na transformada.
• A decomposição em frações parciais permite aplicar a transformada inversa diretamente, resultando na expressão de i(t).

Conclusão

A corrente i(t) é dada por \frac{3}{5}e^{3t} + \frac{7}{5}e^{-2t}, correspondendo à Alternativa D.