Determine a faixa de valores de K para a estabilidade do sistema de controle com retroação unitária cuja função de transferência direta é dada por: G(s) = K / 2s(s+1)(s+1,5)

Para determinar a faixa de valores de K que garante a estabilidade do sistema, utilizaremos o Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz.

1. Determinação da Equação Característica

O sistema possui retroação unitária (H(s) = 1). A função de transferência de malha fechada é dada por:

A condição de estabilidade depende das raízes do denominador, chamado de equação característica:

Substituindo a função de transferência fornecida G(s) = \frac{K}{2s(s+1)(s+1,5)}:

Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum:

2. Expansão do Polinômio

Vamos expandir os termos para obter o polinômio padrão em potências decrescentes de s:

1. Multiplique os termos lineares:
   (s+1)(s+1,5) = s^2 + 1,5s + 1s + 1,5 = s^2 + 2,5s + 1,5
2. Multiplique pelo termo restante $2s$:
   2s(s^2 + 2,5s + 1,5) = 2s^3 + 5s^2 + 3s
3. Adicione o termo K:
   2s^3 + 5s^2 + 3s + K = 0

Esta é a nossa equação característica: P(s) = 2s^3 + 5s^2 + 3s + K.

## Análise de Estabilidade (Routh-Hurwitz)

Construímos a tabela de Routh para analisar a estabilidade baseada nos sinais da primeira coluna.

Calculamos os elementos faltantes:

• Elemento $b_1$:
  b_1 = \frac{(5 \times 3) - (2 \times K)}{5} = \frac{15 - 2K}{5}
• Elemento $c_1$:
  c_1 = \frac{(b_1 \times K) - (5 \times 0)}{b_1} = K

Condições de Estabilidade:
Para o sistema ser estável, todos os elementos da primeira coluna devem ser positivos.

1. Condição 1 (Coeficiente K):
   K > 0
2. Condição 2 (Elemento b_1):
   \frac{15 - 2K}{5} > 0
   15 - 2K > 0
   15 > 2K
   7,5 > K

Portanto, a faixa de estabilidade teórica é $0 < K < 7,5$.

Conclusão

O valor crítico de estabilidade é $K = 7,5$. Acima deste valor, o sistema torna-se instável. Nas opções apresentadas, o número que representa este limiar fundamental de estabilidade é a alternativa C.

Alternativa C