Determine a integral de acordo com as orientações (10 pontos): ∫₁⁵ (x - 1) / (x³ + x²) dx

Question

Determine a integral de acordo com as orientações (10 pontos): ∫₁⁵ (x 1) / (x³ + x²) dx

Sapien IA · Accepted Answer

O valor da integral definida é $2\ln\left(\frac{5}{3}\right) \frac{4}{5}$. Este resultado foi obtido utilizando o método de frações parciais para decompor a função integrando e aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo nos limites de integração de 1 a 5. O processo envolve fatorar o denominador, encontrar as constantes da decomposição, integrar termo a termo e calcular as diferenças entre os valores nos limites superior e inferior. Análise Detalhada Vamos resolver a questão seguindo as orientações passo a passo. a) Fatoração do Denominador O primeiro passo é simplificar a expressão analisando o denominador da função racional. Identificamos um fator comum $x^2$ na parcela $x^3 + x^2$. $$x^3 + x^2 = x^2(x + 1)$$ Portanto, a integral pode ser reescrita como: $$ \int {1}^{5} \frac{x 1}{x^2(x + 1)} dx $$ b) Decomposição da Função Racional Própria Como o grau do numerador (1) é menor que o grau do denominador (3), temos uma função própria. Vamos decompor em frações parciais considerando as raízes reais e repetidas do denominador ($x$ com multiplicidade 2 e $x+1$ com multiplicidade 1). $$ \frac{x 1}{x^2(x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x + 1} $$ Multiplicando ambos os lados por $x^2(x + 1)$ para eliminar os denominadores: $$ x 1 = Ax(x + 1) + B(x + 1) + Cx^2 $$ Para encontrar as constantes, utilizamos valores estratégicos para $x$: Se $x = 0$: $ 1 = B(1) \Rightarrow B = 1$ Se $x = 1$: $ 2 = C( 1)^2 \Rightarrow C = 2$ Comparando coeficientes de $x^2$: $0 = A + C \Rightarrow A = C \Rightarrow A = 2$ Assim, a decomposição fica: $$ \frac{x 1}{x^3 + x^2} = \frac{2}{x} \frac{1}{x^2} \frac{2}{x + 1} $$ c) Resolver a Integral Com a função decomposta, integramos cada termo separadamente usando as propriedades básicas de logaritmos e potências. $$ \int \left( \frac{2}{x} x^{ 2} \frac{2}{x + 1} \right) dx $$ $\int \frac{2}{x} dx = 2\ln|x|$ $\int x^{ 2} dx = \frac{x^{ 1}}{ 1} = \frac{1}{x}$ $\int \frac{2}{x + 1} dx = 2\ln|x + 1|$ A primitiva geral $F(x)$ é: $$ F(x) = 2\ln|x| + \frac{1}{x} 2\ln|x + 1| $$ Podemos agrupar os termos logarítmicos para simplificar a álgebra posterior: $$ F(x) = 2(\ln|x| \ln|x + 1|) + \frac{1}{x} = 2\ln\left|\frac{x}{x + 1}\right| + \frac{1}{x} $$ d) Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo Aplicamos os limites de integração $[1, 5]$ na primitiva encontrada. $$ \int {1}^{5} f(x) dx = F(5) F(1) $$ Calculando $F(5)$: $$ F(5) = 2\ln\left(\frac{5}{6}\right) + \frac{1}{5} $$ Calculando $F(1)$: $$ F(1) = 2\ln\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{1} = 2\ln\left(\frac{1}{2}\right) + 1 $$ Subtraindo: $$ I = \left[ 2\ln\left(\frac{5}{6}\right) + \frac{1}{5} \right] \left[ 2\ln\left(\frac{1}{2}\right) + 1 \right] $$ $$ I = 2\left(\ln\frac{5}{6} \ln\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{5} 1\right) $$ Utilizando a propriedade $\ln(a) \ln(b) = \ln(a/b)$: $$ I = 2\ln\left( \frac{5/6}{1/2} \right) \frac{4}{5} $$ $$ I = 2\ln\left( \frac{5}{6} \cdot \frac{2}{1} \right) \frac{4}{5} $$ $$ I = 2\ln\left( \frac{10}{6} \right) \frac{4}{5} $$ Simplificando a fração dentro do logaritmo: $$ I = 2\ln\left( \frac{5}{3} \right) \frac{4}{5} $$ Conclusão A resolução confirmou que a integral converge para o valor exato $2\ln\left(\frac{5}{3}\right) \frac{4}{5}$ .

Explicação passo a passo

Resumo da resposta

Análise Detalhada

a) Fatoração do Denominador

b) Decomposição da Função Racional Própria

c) Resolver a Integral

d) Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo

Conclusão

Mais questões de Matemática — Cálculo

Tem outra questão de Matemática — Cálculo?