Determine a massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade δ(x, y) = .xy² g/cm², em que D = ((x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2)

Alternativa: Valor calculado (4/3 g)

Como as alternativas (A, B, C, D...) não estão visíveis na imagem fornecida, não é possível indicar a letra exata. No entanto, abaixo está o cálculo completo para encontrar a resposta correta que deve corresponder a um dos itens da prova.

Análise do Problema

O objetivo é calcular a massa total de uma lâmina bidimensional. Para isso, utilizamos a integração dupla da função densidade sobre a região definida.

Fórmula Fundamental:
A massa M é dada pela integral da densidade \delta(x, y) sobre a área D:
M = \iint_D \delta(x, y) \, dA

Dados do Enunciado:

• Função densidade: \delta(x, y) = xy^2 (unidade: g/cm²)
• Região D: Retângulo definido por $0 \leq x \leq 1$ e $0 \leq y \leq 2$

Passo a Passo do Cálculo

1. Montagem da Integral:
   Substituímos os limites de integração e a função densidade na fórmula:
   M = \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} xy^2 \, dx \, dy
   Nota: Como a região é um retângulo, a ordem de integração (dx \, dy ou dy \, dx) não altera o resultado.
2. Integração Interna (em relação a x):
   Tratamos y como constante. A integral de x é \frac{x^2}{2}.
   \int_{0}^{1} xy^2 \, dx = y^2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1}
   Aplicando os limites de x (de 0 a 1):
   = y^2 \left( \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \frac{1}{2}y^2
3. Integração Externa (em relação a y):
   Agora integramos o resultado anterior de 0 a 2.
   M = \int_{0}^{2} \frac{1}{2}y^2 \, dy
   Fatoramos a constante \frac{1}{2} e integramos y^2 para \frac{y^3}{3}:
   M = \frac{1}{2} \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{2}
4. Aplicação dos Limites Finais:
   Substituímos y=2 e y=0:
   M = \frac{1}{2} \left( \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right)
   M = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3}
   M = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}

Conclusão

A massa da lâmina é exatamente \frac{4}{3} gramas (aproximadamente 1,33 g).

Procure na sua lista de alternativas a opção que contém 4/3 ou 1,33.