Determine a resposta do sistema, sabendo que ψ(t) é uma função rampa que se inicia em t = 0. Dados: R = 0,5Ω, C = 1F e L = 1H.

Resumo da Resposta

A resposta do sistema no domínio do tempo é dada pela função:
v_C(t) = (t - 2 + 2e^{-t} + te^{-t})u(t)

Justificativa Didática

1. Identificação dos Dados e Parâmetros

Primeiro, devemos substituir os valores numéricos fornecidos na função de transferência dada no enunciado. Os dados são:

• Resistência: R = 0,5\,\Omega
• Capacitância: C = 1\,F
• Indutância: L = 1\,H

Substituindo na equação da função de transferência:
V_C(s) = \frac{\frac{1}{LC}}{s^2 + \frac{1}{RC}s + \frac{1}{LC}} V(s)

Calculamos os coeficientes:

• \frac{1}{LC} = \frac{1}{1 \cdot 1} = 1
• \frac{1}{RC} = \frac{1}{0,5 \cdot 1} = 2

Assim, a função de transferência simplificada fica:
V_C(s) = \frac{1}{s^2 + 2s + 1} V(s)
Note que o denominador é um quadrado perfeito: s^2 + 2s + 1 = (s+1)^2. Logo:
V_C(s) = \frac{1}{(s+1)^2} V(s)

2. Representação da Entrada no Domínio de Laplace

O problema afirma que a entrada v(t) é uma função rampa que inicia em t=0. Matematicamente, isso é representado por v(t) = t \cdot u(t), onde u(t) é a função degrau unitário.

A transformada de Laplace de uma rampa unitária é conhecida:
V(s) = \mathcal{L}\{t\} = \frac{1}{s^2}

3. Montagem da Equação no Domínio S

Substituindo V(s) na nossa função de transferência simplificada:
V_C(s) = \frac{1}{(s+1)^2} \cdot \frac{1}{s^2}
V_C(s) = \frac{1}{s^2(s+1)^2}

4. Decomposição em Frações Parciais

Para retornar ao domínio do tempo (t), precisamos realizar a Transformada Inversa de Laplace. O método mais eficiente para funções racionais como esta é a decomposição em frações parciais.

Propomos a seguinte forma para a expansão:
\frac{1}{s^2(s+1)^2} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s^2} + \frac{C}{s+1} + \frac{D}{(s+1)^2}

Determinando as constantes através de métodos algébricos (como igualar coeficientes ou substituição de valores específicos):

• B = 1
• D = 1
• A = -2
• C = 2

Portanto, a expansão fica:
V_C(s) = -\frac{2}{s} + \frac{1}{s^2} + \frac{2}{s+1} + \frac{1}{(s+1)^2}

5. Transformada Inversa

Agora, aplicamos a transformada inversa termo a termo utilizando pares conhecidos:

• \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s}\} = u(t) (Degrau unitário)
• \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s^2}\} = t \cdot u(t) (Rampa)
• \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s+a}\} = e^{-at}u(t) (Exponencial decrescente)
• \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{(s+a)^2}\} = t e^{-at}u(t) (Rampa modulada exponencial)

Aplicando aos nossos coeficientes:
v_C(t) = -2u(t) + t \cdot u(t) + 2e^{-t}u(t) + te^{-t}u(t)

Fatorando a função degrau u(t) para indicar que o sistema é causal (começa em t=0):
v_C(t) = (t - 2 + 2e^{-t} + te^{-t})u(t)