Determine a série de senos de Fourier para: f(x) = { 8x, 0 ≤ x ≤ 2; 2, 2 < x ≤ 3 }

Análise da Questão sobre Série de Fourier

Atenção: As opções de múltipla escolha (A, B, C...) estão fora do campo de visão da imagem fornecida. Portanto, não é possível indicar a letra exata da resposta. Abaixo, apresento o cálculo completo e detalhado para que você possa identificar a alternativa correta correspondente ao resultado obtido.

Identificação do Problema

O enunciado solicita a determinação de uma Série de Senos de Fourier para uma função definida por partes.

• Tipo de Série: Série de Senos (apenas termos b_n). Isso implica uma extensão ímpar da função no intervalo [-L, L].
• Intervalo: Baseado na definição da função (x \le 2 e x > 2), assumimos que o intervalo de definição é L = 3 (já que o segundo caso começa após 2). Se fosse L=2, o segundo caso seria inútil.
• Função:
  f(x) = \begin{cases} 8x, & 0 \le x \le 2 \\ 2, & 2 < x \le 3 \end{cases}

Fórmula Geral

Para uma série de senos no intervalo [0, L], a expansão é dada por:
f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)

Onde os coeficientes b_n são calculados por:
b_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx

Substituindo L = 3:
b_n = \frac{2}{3} \int_0^3 f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{3}\right) dx

Desenvolvimento do Cálculo

Dividimos a integral nos dois trechos da função:

Vamos calcular cada parte separadamente, usando a notação k = \frac{n\pi}{3}.

Parte 1: $\int_0^2 8x \sin(kx) dx$
Usando integração por partes (u=8x, dv=\sin(kx)dx):
= \left[ -\frac{8x}{k}\cos(kx) \right]_0^2 + \int_0^2 \frac{8}{k}\cos(kx) dx
= -\frac{16}{k}\cos(2k) + \left[ \frac{8}{k^2}\sin(kx) \right]_0^2
= -\frac{16}{k}\cos(2k) + \frac{8}{k^2}\sin(2k)

Parte 2: $\int_2^3 2 \sin(kx) dx$
= \left[ -\frac{2}{k}\cos(kx) \right]_2^3
= -\frac{2}{k}(\cos(3k) - \cos(2k))
Como $3k = n\pi$, temos \cos(n\pi) = (-1)^n.
= -\frac{2}{k}((-1)^n - \cos(2k)) = \frac{2}{k}\cos(2k) - \frac{2}{k}(-1)^n

Somando as partes e multiplicando por \frac{2}{3}:
b_n = \frac{2}{3} \left[ \left(-\frac{16}{k}\cos(2k) + \frac{8}{k^2}\sin(2k)\right) + \left(\frac{2}{k}\cos(2k) - \frac{2}{k}(-1)^n\right) \right]
b_n = \frac{2}{3} \left[ -\frac{14}{k}\cos(2k) + \frac{8}{k^2}\sin(2k) - \frac{2}{k}(-1)^n \right]

Substituindo k = \frac{n\pi}{3} (logo \frac{1}{k} = \frac{3}{n\pi} e \frac{1}{k^2} = \frac{9}{n^2\pi^2}):

Distribuindo o \frac{2}{3}:

Conclusão

A série de Fourier solicitada é:
f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{48}{n^2\pi^2}\sin\left(\frac{2n\pi}{3}\right) - \frac{28}{n\pi}\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right) - \frac{4}{n\pi}(-1)^n \right] \sin\left(\frac{n\pi x}{3}\right)

Recomendação: Verifique as alternativas disponíveis em sua prova ou livro. Procure pela opção que contenha os coeficientes b_n derivados acima ou a expressão completa da série somatória.