Determine a solução da equação diferencial $2x^2y'' + 6xy' + 2y = 0$ para $x > 0$.

Alternativa E - y = \frac{a}{x} + \frac{b}{x}lnx, a e b reais.

Introdução

A equação apresentada, $2x^2y'' + 6xy' + 2y = 0$, é classificada como uma Equação Diferencial de Cauchy-Euler (ou Equação Euler-Cauchy). Este tipo de equação possui coeficientes variáveis que são potências de x correspondentes à ordem da derivada.

Desenvolvimento

Para resolver essa equação, utilizamos o método da substituição y = x^r, onde r é uma constante a ser determinada.

1. Calculando as derivadas:
   y = x^r
   y' = r x^{r-1}
   y'' = r(r-1) x^{r-2}
2. Substituindo na equação original:
   2x^2 [r(r-1) x^{r-2}] + 6x [r x^{r-1}] + 2 [x^r] = 0
3. Simplificando os termos:
   Ao multiplicarmos as potências de x, obtemos x^2 \cdot x^{r-2} = x^r. Todos os termos ficam com x^r:
   x^r [2r(r-1) + 6r + 2] = 0

Como x > 0, podemos dividir por x^r e focar apenas no polinômio característico:
2r(r-1) + 6r + 2 = 0
2r^2 - 2r + 6r + 2 = 0
2r^2 + 4r + 2 = 0

1. Resolvendo a equação quadrática:
   Dividindo toda a equação por 2:
   r^2 + 2r + 1 = 0
   (r + 1)^2 = 0

Obtemos uma raiz real e dupla:
r_1 = r_2 = -1

1. Determinando a solução geral:
   Quando as raízes da equação característica de Cauchy-Euler são reais e iguais (r_1 = r_2 = r), a solução geral é dada pela combinação linear:
   y = C_1 x^r + C_2 x^r \ln(x)

Substituindo r = -1:
y = C_1 x^{-1} + C_2 x^{-1} \ln(x)
y = \frac{C_1}{x} + \frac{C_2 \ln(x)}{x}

Considerando a = C_1 e b = C_2, temos:
y = \frac{a}{x} + \frac{b}{x} \ln(x)

Análise das Alternativas

Conclusão

A resolução matemática confirma que a solução geral para a equação diferencial de Cauchy-Euler com raiz dupla r=-1 é composta por um termo inverso ($1/x$) e um termo inverso multiplicado pelo logaritmo natural (ln(x)/x). Portanto, a alternativa E está correta.