Determine a solução geral da equação diferencial 2y'' - 12y' + 20y = 0.

Alternativa C

A questão solicita a solução geral de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolvê-la, utilizamos o método da equação característica.

Desenvolvimento

O primeiro passo é escrever a equação característica associada à equação diferencial dada: $2y'' - 12y' + 20y = 0$.

Substituindo as derivadas por potências de r (y'' \rightarrow r^2, y' \rightarrow r, y \rightarrow 1), obtemos:
2r^2 - 12r + 20 = 0

Dividimos toda a equação por 2 para simplificar:
r^2 - 6r + 10 = 0

Calculamos as raízes utilizando a fórmula de Bhaskara:
r = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(10)}}{2(1)}
r = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 40}}{2}
r = \frac{6 \pm \sqrt{-4}}{2}

Como o discriminante é negativo, temos raízes complexas conjugadas da forma \alpha \pm \beta i. Isolando a parte imaginária:
r = \frac{6 \pm 2i}{2} = 3 \pm i

Identificamos os valores reais e imaginários:

• Parte real (\alpha): $3$
• Parte imaginária (\beta): $1$

Análise

A forma geral da solução para raízes complexas \alpha \pm \beta i é:
y(x) = e^{\alpha x} (a \cos(\beta x) + b \sin(\beta x))

Substituindo nossos valores (\alpha = 3 e \beta = 1):
y(x) = e^{3x} (a \cos(x) + b \sin(x))

Distribuindo o termo exponencial:
y(x) = ae^{3x} \cos(x) + be^{3x} \sin(x)

Comparando com as alternativas:

• A: Inverte \alpha e \beta (e^x, \cos(3x)).
• B: Erra o sinal da parte real (e^{-3x}).
• C: Corresponde exatamente à nossa solução.
• D e E: Adicionam um fator x desnecessário (usado apenas em raízes repetidas reais).

Alternativa C.