Determine a solução geral da equação diferencial $ rac{d^2u}{dn^2} - 3 rac{du}{dn} + 2u = 8$.

Alternativa D

Para resolver esta equação diferencial, precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da parte homogênea com a solução particular.

Análise da Equação

A equação apresentada é:
\frac{d^2u}{dv^2} - 3\frac{du}{dv} + 2u = 8

Trata-se de uma Equação Diferencial Linear Não-Homogênea de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes.

1. Solução da Parte Homogênea (u_h)

Primeiro, resolvemos a equação associada à homogênea, onde igualamos tudo a zero:
u'' - 3u' + 2u = 0

Montamos a equação característica substituindo as derivadas por potências da variável r:
r^2 - 3r + 2 = 0

Resolvendo essa equação quadrática (fatorando):
(r - 1)(r - 2) = 0

As raízes são:

• r_1 = 1
• r_2 = 2

Como as raízes são reais e distintas, a solução homogênea tem a forma:
u_h = a e^{r_1 v} + b e^{r_2 v}
u_h = a e^v + b e^{2v}

Isso já nos permite eliminar as alternativas A, B e C, pois elas possuem termos exponenciais incorretos (raízes negativas ou multiplicidade errada). Restam apenas as alternativas D e E.

2. Solução Particular (u_p)

O lado direito da equação é uma constante ($8$). Portanto, assumimos uma solução particular constante:
u_p = K

Calculamos as derivadas:

• u_p' = 0
• u_p'' = 0

Substituímos na equação original:
0 - 3(0) + 2(K) = 8
2K = 8 \Rightarrow K = 4

Atenção ao Discrepância:
O cálculo matemático rigoroso para os números visíveis no enunciado resulta em u_p = 4. No entanto, nenhuma das alternativas apresenta +4. Todas apresentam +2 ou -2.
Isso indica um erro de digitação comum em questões de provas (ex: o termo independente deveria ser $4$ ou o coeficiente de u deveria ser $4$).

• Se o termo fosse $4$: $2K = 4 \Rightarrow K = 2$.
• Se o coeficiente fosse $4$: $4K = 8 \Rightarrow K = 2$.

Considerando que as alternativas D e E diferem apenas pelo sinal da constante (+2 ou -2), e que o valor original no enunciado é positivo ($8$), a alternativa D é a escolha mais coerente, assumindo que houve um erro numérico na construção da questão mas a estrutura da resposta positiva foi mantida.

Conclusão

A estrutura correta da solução exige os termos e^v e e^{2v}, combinados com uma constante. Entre as opções que respeitam isso, a Alternativa D é a que melhor se alinha com a lógica da equação (termos positivos).

Alternativa D - u = ae^v + be^{2v} + 2, a \text{ e } b \text{ reais}.