Determine a solução particular da equação diferencial $s'' - 6s' + 9s = 0$ que atenda à condição inicial $s(0) = 2$ e $s'(0) = 8$.

Alternativa A - $2e^{3x}(1+x)$

Resolução Passo a Passo

Para resolver esta equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, seguimos os seguintes passos:

1. Equação Característica

Primeiro, escrevemos a equação característica associada substituindo as derivadas por potências de r:
r^2 - 6r + 9 = 0

Calculamos as raízes desta equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara ou observando que é um trinômio quadrado perfeito:
(r - 3)^2 = 0
Logo, temos uma raiz real dupla: r_1 = r_2 = 3.

2. Solução Geral

Quando a equação característica possui raízes reais e iguais (r), a solução geral assume a forma:
s(x) = C_1 e^{rx} + C_2 x e^{rx}
Substituindo r = 3:
s(x) = C_1 e^{3x} + C_2 x e^{3x}
Ou fatorando:
s(x) = e^{3x}(C_1 + C_2 x)

3. Aplicação das Condições Iniciais

Utilizamos as condições dadas no enunciado para encontrar as constantes C_1 e C_2.

Condição 1: s(0) = 2
Substituímos x = 0 na solução geral:
s(0) = e^{3(0)}(C_1 + C_2 \cdot 0) = 1 \cdot (C_1) = C_1
Portanto:
C_1 = 2

Agora a função está parcializada assim: s(x) = 2e^{3x} + C_2 x e^{3x}.

Condição 2: s'(0) = 8
Precisamos da derivada da função em relação a x. Usando a regra do produto no segundo termo:
s'(x) = \frac{d}{dx}(2e^{3x}) + \frac{d}{dx}(C_2 x e^{3x})
s'(x) = 6e^{3x} + C_2(1 \cdot e^{3x} + x \cdot 3e^{3x})
s'(x) = 6e^{3x} + C_2 e^{3x} + 3C_2 x e^{3x}
s'(x) = e^{3x}(6 + C_2 + 3C_2 x)

Agora substituímos x = 0 e igualamos a 8:
s'(0) = e^{0}(6 + C_2 + 0) = 1 \cdot (6 + C_2)
8 = 6 + C_2
C_2 = 2

4. Conclusão

Com C_1 = 2 e C_2 = 2, escrevemos a solução particular final:
s(x) = 2e^{3x} + 2x e^{3x}
Fatorando $2e^{3x}$, obtemos:
s(x) = 2e^{3x}(1 + x)

Isso corresponde exatamente à Alternativa A.