Determine a soma a + b + c de forma a garantir que a função g(x) seja contínua no seu domínio [ 2, 6 ] g(x) = { a, x = 2 x² - x - 2, 2 < x < 4 bx + 4, 4 ≤ x < 6 c, x = 6

Alternativa A

Para resolver esta questão, precisamos aplicar o conceito de continuidade de funções. Uma função é contínua em um ponto se o limite à esquerda for igual ao limite à direita e ambos forem iguais ao valor da função naquele ponto.

No caso de uma função definida por partes como a apresentada, os pontos críticos onde a definição muda são x = 2, x = 4 e x = 6.

Análise Detalhada

Vamos analisar cada ponto de transição para encontrar os valores de a, b e c.

1. Ponto x = 2

Como o domínio começa em 2, verificamos a continuidade pela direita (\lim_{x \to 2^+}). O valor da função deve ser igual ao limite.

• Limite pela direita: $2^2 - 2 - 2 = 4 - 4 = 0$
• Valor da função: g(2) = a
• Igualando: $a = 0$

2. Ponto x = 4

Aqui ocorre a mudança da primeira expressão para a segunda. O limite pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita.

• Limite pela esquerda (x^2 - x - 2): $4^2 - 4 - 2 = 16 - 6 = 10$
• Limite pela direita (bx + 4): b(4) + 4 = 4b + 4
• Igualando: $4b + 4 = 10 \Rightarrow 4b = 6 \Rightarrow$ **b = 1,5$** (ou $3/2)

3. Ponto x = 6

O domínio termina em 6, então verificamos a continuidade pela esquerda. O valor da função deve coincidir com o limite.

• Limite pela esquerda (bx + 4): b(6) + 4
• Substituindo b = 1,5: $1,5(6) + 4 = 9 + 4 = 13$
• Valor da função: g(6) = c
• Igualando: $c = 13$

Cálculo Final

Agora somamos os valores encontrados:
a + b + c = 0 + 1,5 + 13
a + b + c = 14,5

Convertendo para fração:
14,5 = \frac{29}{2}

Portanto, a alternativa correta é a A.