Determine a soma a + b + c de forma a garantir que a função g(x) seja contínua no seu domínio [2, 6]. g(x) = { x² - x - 2, 2 ≤ x < 4; bx + 4, 4 ≤ x < 6; c, x = 6

Alternativa A - 29/2

Para garantir que a função g(x) seja contínua no intervalo [2, 6], é necessário que não haja "quebras" nos pontos onde a definição da função muda: x = 2, x = 4 e x = 6.

A condição fundamental de continuidade em um ponto x_0 é que o limite lateral esquerdo, o limite lateral direito e o valor da função naquele ponto sejam iguais. Vamos analisar cada ponto crítico:

Análise dos Pontos

1. Ponto x = 2

Como o domínio inicia em 2, verificamos a continuidade à direita.

• Valor da função: g(2) = a
• Limite pela direita: \lim_{x \to 2^+} (x^2 - x - 2) = 2^2 - 2 - 2 = 0

Igualando os valores:
a = 0

2. Ponto x = 4

É o ponto de encontro entre o termo quadrático e o linear. Os limites laterais devem coincidir.

• Limite pela esquerda (x \to 4^-): \lim_{x \to 4^-} (x^2 - x - 2) = 4^2 - 4 - 2 = 10
• Limite pela direita (x \to 4^+): \lim_{x \to 4^+} (bx + 4) = 4b + 4

Igualando os limites:
4b + 4 = 10
4b = 6
b = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5

3. Ponto x = 6

Como o domínio termina em 6, verificamos a continuidade à esquerda.

• Valor da função: g(6) = c
• Limite pela esquerda (x \to 6^-): Usando o valor de b = 1,5 na expressão bx + 4:
  \lim_{x \to 6^-} (1,5x + 4) = 1,5(6) + 4 = 9 + 4 = 13

Igualando os valores:
c = 13

Conclusão

Agora basta somar os valores encontrados:

• a = 0
• b = 1,5
• c = 13

Convertendo para fração:
14,5 = \frac{29}{2}

Portanto, a alternativa correta é a A.