Determine o plano tangente ao gráfico de f(x,y) = xy no ponto P(2, 3, 6).

Alternativa D

Para encontrar o plano tangente a uma superfície z = f(x, y) em um ponto P(x_0, y_0, z_0), utilizamos a fórmula fornecida no enunciado:

Passo a Passo da Resolução

1. Identificar os dados do problema:

• Função: f(x, y) = xy
• Ponto: P(2, 3, 6), onde x_0 = 2, y_0 = 3 e z_0 = 6.

1. Calcular as derivadas parciais (f_x e f_y):

• Derivada em relação a x (tratando y como constante):
  f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x}(xy) = y
• Derivada em relação a y (tratando x como constante):
  f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y}(xy) = x

1. Avaliar as derivadas no ponto específico (2, 3):

• Substituindo x=2 e y=3 nas derivadas calculadas:
  f_x(2, 3) = 3
  f_y(2, 3) = 2
• Isso nos dá os coeficientes angulares das direções x e y.

1. Substituir na equação do plano tangente:
   z - 6 = 3(x - 2) + 2(y - 3)
2. Simplificar a equação para encontrar a forma final:

• Distribua os valores:
  z - 6 = 3x - 6 + 2y - 6
• Some os termos constantes (-6 - 6 + 6 = -6):
  z = 3x + 2y - 6

Análise das Alternativas

Portanto, a equação correta do plano tangente é z = 3x + 2y - 6.