Determine o raio e o intervalo de convergência, respectivamente, da série de potência $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(x+4)^n}{(k+1)!}$

Alternativa E

O objetivo deste exercício é encontrar o raio e o intervalo de convergência de uma série de potências que apresenta um fatorial no denominador. A questão contém uma pequena inconsistência tipográfica misturando os índices n e k, mas o padrão matemático indica que a variável de soma deve coincidir com o expoente.

Desenvolvimento

Para resolver, aplicamos o Teste da Razão (ou Critério de d'Alembert). Consideramos o termo geral da série como a_k = \frac{(x+4)^k}{(k+1)!}.

Calculamos o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual:
L = \lim_{k \to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right|

Substituindo os valores na expressão:
L = \lim_{k \to \infty} \left| \frac{(x+4)^{k+1}}{(k+2)!} \cdot \frac{(k+1)!}{(x+4)^k} \right|

Ao simplificar as potências de (x+4) e os fatoriais, obtemos:
L = \lim_{k \to \infty} \frac{|x+4|}{k+2}

Como o numerador é constante em relação a k e o denominador cresce indefinidamente, o limite resulta em zero:
L = 0

Análise

• Critério de Convergência: O teste da razão afirma que a série converge absolutamente se L < 1.
• Resultado do Limite: Como $0 < 1$ para qualquer valor real de x, a convergência ocorre para todo o conjunto dos números reais.
• Raio de Convergência (R): Quando a série converge para todos os x, dizemos que o raio é infinito (\infty).
• Intervalo de Convergência: O domínio de convergência é (-\infty, \infty).

A presença do fatorial no denominador garante que o crescimento do termo seja dominado pelo crescimento exponencial do denominador, anulando a influência de x. Portanto, não há restrições de valores para x.

Alternativa E confirma corretamente o raio infinito e o intervalo de todos os números reais.