Determine o valor da integral ∫ (2sec²y + 3/(1+y²) + 2y) dy

Análise da Questão

A questão solicita o cálculo da integral indefinida de uma função composta por três termos:

Para resolver, aplicamos a propriedade da linearidade da integral, calculando cada termo separadamente.

Passo 1: Integração do primeiro termo

O primeiro termo envolve a função secante elevada ao quadrado.

• Regra fundamental: A derivada de \tan(y) é \sec^2(y).
• Aplicação: \int \sec^2 y \, dy = \tan y.
• Resultado: \int 2 \sec^2 y \, dy = 2 \tan y.

Isso já nos permite eliminar as alternativas B, D e E, pois elas apresentam funções seno (\sin) ou cosseno (\cos) no lugar da tangente.

Passo 2: Integração do segundo termo

O segundo termo é uma fração clássica associada à função arco tangente.

• Regra fundamental: A derivada de \arctan(y) é \frac{1}{1+y^2}.
• Aplicação: Mantém-se o fator 3. \int \frac{3}{1+y^2} \, dy = 3 \arctan y.
• Resultado: $3 \arctan(y)$.

Combinando com o Passo 1, temos $2 \tan y + 3 \arctan y$.
A alternativa C é eliminada porque apresenta um sinal negativo e remove o coeficiente 3.

Passo 3: Integração do terceiro termo e verificação de consistência

O terceiro termo é $2y$.

• Regra da Potência: \int y^n \, dy = \frac{y^{n+1}}{n+1}. Para n=1: \int 2y \, dy = 2 \cdot \frac{y^2}{2} = y^2.

Matematicamente, o resultado completo deveria ser:
2 \tan y + 3 \arctan y + y^2 + k

No entanto, analisando as alternativas restantes:

• Alternativa A: Apresenta + y no final.
• Alternativa C: Já foi eliminada.

Observação Importante: Existe uma inconsistência entre o enunciado ($2y$) e a alternativa correta (A), que sugere y. Para que a integral resultasse em y, o termo no integrando deveria ser a constante $1$ (\int 1 \, dy = y). Em questões de múltipla escolha, quando todas as outras opções falham nos conceitos principais (funções trigonométricas), selecionamos a que mantém a estrutura correta dos termos mais complexos, assumindo um erro de formulação na questão.

Resumo das Funções Inversas e Trigonométricas

Conclusão

A Alternativa A é a única que apresenta as integrais corretas dos termos trigonométricos ($2\tan y$ e $3\arctan y$). Apesar do erro de digitação no último termo ($2y$ em vez de $1$), esta é a resposta correta dentro das opções disponíveis.

Alternativa A