Determine o valor da integral ∫₀¹ (4x³ + eˣ - 1/√ (1 - x²)) dx

Alternativa C

Para resolver a integral definida proposta, utilizaremos a propriedade da linearidade, que nos permite calcular a integral de cada termo separadamente.

A integral dada é:
\int_{0}^{1} \left(4x^3 + e^x - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) dx

Podemos dividir esta expressão em três partes distintas:

1. Integral de $4x^3$
2. Integral de e^x
3. Integral de -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Análise Detalhada

Vamos calcular a primitiva (antiderivada) de cada termo e aplicar o limite de integração de 0 a 1:

• Primeiro Termo: \int 4x^3 dx
  A regra de potência diz que \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}.
  Portanto, a primitiva de $4x^3$ é $4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4$.
  Avaliando de 0 a 1:
  [x^4]_0^1 = 1^4 - 0^4 = 1
• Segundo Termo: \int e^x dx
  A função exponencial é sua própria derivada e primitiva.
  [e^x]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1
  (Lembre-se que e^0 = 1)
• Terceiro Termo: \int -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx
  Esta é uma integral fundamental relacionada às funções trigonométricas inversas. A primitiva de \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} é o arcosseno ou arcoseno? É o arcosseno se for negativo? Não, cuidado.
  A derivada de \arcsin(x) é \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
  A derivada de \arccos(x) é -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Como temos o sinal de menos na frente da fração (-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}), podemos pensar em integrar \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} primeiro e depois subtrair o resultado.
Primitiva de \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} é \arcsin(x).
Avaliando de 0 a 1:
[\arcsin(x)]_0^1 = \arcsin(1) - \arcsin(0)
Sabemos que \arcsin(1) = \frac{\pi}{2} e \arcsin(0) = 0.
Logo, este termo vale \frac{\pi}{2}.

Conclusão

Somando todos os resultados calculados acima:
\text{Total} = (1) + (e - 1) - \left(\frac{\pi}{2}\right)

Os números $1$ e -1 se cancelam:
\text{Total} = e - \frac{\pi}{2}

Portanto, a alternativa correta é a C.