Determine o valor da integral ∫ sen³ t cos t dt

Alternativa C

A integral solicitada é:
I = \int \text{sen}^3 t \cdot \cos t \, dt

Para resolver esta integral, utilizamos o método de substituição de variável, aproveitando a relação fundamental entre a função seno e sua derivada, o cosseno.

Desenvolvimento da Resolução

1. Identificar a substituição:
   Note que a expressão contém \text{sen}^3 t e, multiplicando-se, temos \cos t \, dt. Sabemos que a derivada do seno é o cosseno:
   \frac{d}{dt}(\text{sen } t) = \cos t
2. Definir a nova variável:
   Seja u = \text{sen } t.
   Então, calculamos o diferencial du:
   du = \cos t \, dt
3. Realizar a substituição na integral:
   Substituímos \text{sen } t por u e \cos t \, dt por du:
   I = \int u^3 \, du
4. Calcular a integral da potência:
   Aplicamos a regra básica de integração de potências (\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}):
   I = \frac{u^{3+1}}{3+1} + k
   I = \frac{u^4}{4} + k
5. Retornar à variável original:
   Substituímos u novamente por \text{sen } t:
   I = \frac{\text{sen}^4 t}{4} + k

Análise das Alternativas

A alternativa C apresenta exatamente o resultado obtido pela integração direta via substituição.