Determine o valor de Kp para que a resposta do sistema a uma entrada do tipo degrau unitário seja criticamente amortecida.

Question

Determine o valor de Kp para que a resposta do sistema a uma entrada do tipo degrau unitário seja criticamente amortecida. A) 0,25 B) 0,35

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Alternativa A Para resolver esta questão, precisamos determinar a função de transferência em malha fechada do sistema e compará la com a forma padrão de um sistema de segunda ordem para encontrar a condição de amortecimento crítico. Passo a Passo da Solução 1. Determinar a Função de Transferência em Malha Aberta ($G(s)$) No diagrama de blocos, temos três elementos em cascata na malha direta: um ganho proporcional ($K p$), um integrador ($\frac{1}{s}$) e um polo real ($\frac{1}{s+1}$). Multiplicando os, obtemos: $$G(s) = K p \cdot \frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s+1} = \frac{K p}{s(s+1)} = \frac{K p}{s^2 + s}$$ 2. Determinar a Função de Transferência em Malha Fechada ($T(s)$) Como o sistema possui realimentação unitária negativa, utilizamos a fórmula padrão: $$T(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)}$$ Substituindo $G(s)$: $$T(s) = \frac{\frac{K p}{s^2 + s}}{1 + \frac{K p}{s^2 + s}} = \frac{K p}{s^2 + s + K p}$$ A equação característica do sistema é o denominador desta fração: $$D(s) = s^2 + s + K p = 0$$ 3. Comparar com a Forma Padrão de Segunda Ordem A equação característica de um sistema de segunda ordem genérica é dada por: $$s^2 + 2\zeta\omega n s + \omega n^2 = 0$$ Onde: $\zeta$ (zeta) é o coeficiente de amortecimento. $\omega n$ é a frequência natural não amortecida. 4. Analisar as Condições de Amortecimento Crítico Um sistema é criticamente amortecido quando seu coeficiente de amortecimento é igual a 1 ($\zeta = 1$). Isso significa que ele retorna ao equilíbrio no menor tempo possível sem oscilar. Comparando os termos da nossa equação ($s^2 + s + K p$) com a forma padrão ($s^2 + 2\zeta\omega n s + \omega n^2$): | Termo | Nossa Equação | Forma Padrão | Igualdade | | : | : | : | : | | Coeficiente de $s$ | $1$ | $2\zeta\omega n$ | $2\zeta\omega n = 1$ | | Termo Constante | $K p$ | $\omega n^2$ | $\omega n^2 = K p$ | 5. Calcular o Valor de $K p$ Aplicando a condição de amortecimento crítico ($\zeta = 1$) na primeira igualdade: $$2(1)\omega n = 1 \Rightarrow 2\omega n = 1 \Rightarrow \omega n = 0.5$$ Agora, substituímos o valor de $\omega n$ na segunda igualdade para encontrar $K p$: $$K p = \omega n^2 = (0.5)^2 = 0.25$$ Portanto, o valor necessário para $K p$ é 0,25 .

Explicação passo a passo

Passo a Passo da Solução

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Termo	Nossa Equação	Forma Padrão	Igualdade
Coeficiente de $s$	$1$	$2\zeta\omega_n$	$2\zeta\omega_n = 1$
Termo Constante	$K_p$	$\omega_n^2$	$\omega_n^2 = K_p$