Alternativa C - 5,71 s
Para resolver esta questão, precisamos analisar a função de transferência do sistema e relacioná-la com os parâmetros de um sistema de segunda ordem clássico.
Análise do Sistema
A função de transferência geral para um sistema de segunda ordem é dada por:
$$G(s) = \frac{\omegan^2}{s^2 + 2\zeta\omegan s + \omega_n^2}$$
Onde:
- $\omega_n$ é a frequência natural não amortecida.
- $\zeta$ é o fator de amortecimento.
Comparando a função fornecida no enunciado com a forma padrão:
$$Y(s) = \frac{4}{s^2 + 1,4s + 4}$$
Podemos identificar os coeficientes diretamente:
- Termo constante ($\omega_n^2$):
$$\omegan^2 = 4 \Rightarrow \omegan = 2 \text{ rad/s}$$ - Termo linear ($2\zeta\omega_n$):
$$2\zeta\omega_n = 1,4$$
Cálculo dos Parâmetros
Sabendo que $\omega_n = 2$, podemos substituir na equação do termo linear para encontrar $\zeta$:
$$2 \cdot \zeta \cdot 2 = 1,4$$
$$4\zeta = 1,4$$
$$\zeta = \frac{1,4}{4} = 0,35$$
Como $0 < \zeta < 1$, o sistema é classificado como subamortecido, o que confirma que haverá oscilações antes de estabilizar, conforme mostrado no gráfico.
Tempo de Acomodação ($T_s$)
O tempo de acomodação é o tempo necessário para que a resposta do sistema entre e permaneça dentro de uma certa faixa de erro em relação ao valor final. Para sistemas de segunda ordem subamortecidos, utilizamos as seguintes aproximações:
- Faixa de 5%: $Ts \approx \frac{3}{\zeta\omegan}$
- Faixa de 2%: $Ts \approx \frac{4}{\zeta\omegan}$
O enunciado solicita a faixa de 2%. Portanto, usamos a fórmula:
$$Ts = \frac{4}{\zeta\omegan}$$
Podemos notar que o denominador $\zeta\omega_n$ já foi calculado indiretamente quando analisamos o termo linear:
$$2\zeta\omegan = 1,4 \Rightarrow \zeta\omegan = 0,7$$
Substituindo na fórmula do tempo de acomodação:
$$T_s = \frac{4}{0,7}$$
$$T_s \approx 5,714 \text{ s}$$
Arredondando para duas casas decimais, temos 5,71 s.
Conclusão:
A alternativa correta é a C.