Alternativa C
Para resolver esta questão, precisamos determinar a impedância total do circuito no domínio de Laplace (variável s). Isso envolve converter cada componente elétrico para sua representação em s e aplicar as leis de associação de impedâncias (série e paralelo).
Análise dos Componentes
Primeiro, definimos as impedâncias individuais dos elementos passivos em função de s:
- Resistor (R): A impedância permanece R.
- Indutor (L): A impedância é dada por Z_L = sL.
- Capacitor (C): A impedância é dada por Z_C = \frac{1}{sC}.
Com base nos valores do diagrama:
- Resistor em série com a fonte: $2 \, \Omega$
- Ramificação central: $1 \, \Omega$ em série com $1/2 \text{ F}$
- Ramificação direita: $2 \, \Omega$ em série com $1 \text{ H}$
Passo a Passo do Cálculo
1. Impedância da Ramificação Central (Z_1)
Esta ramificação possui um resistor e um capacitor em série.
Z_1 = R_{central} + \frac{1}{sC} = 1 + \frac{1}{s(1/2)} = 1 + \frac{2}{s}
Passando para denominador comum:
Z_1 = \frac{s + 2}{s}
2. Impedância da Ramificação Direita (Z_2)
Esta ramificação possui um resistor e um indutor em série.
Z_2 = R_{direita} + sL = 2 + s(1) = s + 2
3. Impedância Paralela (Z_p)
As duas ramificações acima estão conectadas em paralelo entre si. A fórmula para impedâncias em paralelo é:
Z_p = \frac{Z_1 \cdot Z_2}{Z_1 + Z_2}
Substituindo os valores encontrados:
Z_p = \frac{\left(\frac{s+2}{s}\right) \cdot (s+2)}{\frac{s+2}{s} + (s+2)}
Podemos simplificar essa expressão fatorando o termo (s+2) tanto no numerador quanto no denominador:
Z_p = \frac{(s+2) \cdot \frac{s+2}{s}}{(s+2) \cdot \left(\frac{1}{s} + 1\right)}
Cancelando o termo (s+2):
Z_p = \frac{\frac{s+2}{s}}{\frac{1+s}{s}} = \frac{s+2}{s+1}
4. Impedância Total (Z(s))
Finalmente, somamos a impedância do resistor inicial ($2 \, \Omega$) que está em série com o conjunto paralelo calculado acima.
Z(s) = 2 + Z_p
Z(s) = 2 + \frac{s+2}{s+1}
Realizando a soma das frações:
Z(s) = \frac{2(s+1) + (s+2)}{s+1}
Z(s) = \frac{2s + 2 + s + 2}{s+1}
Z(s) = \frac{3s + 4}{s+1}
Este resultado coincide exatamente com a opção apresentada na letra C.
Conclusão
A impedância total vista pela fonte é Z(s) = \frac{3s+4}{s+1}.
Portanto, a alternativa correta é a C.