Em projeto de processamento de sinais cardíacos, um engenheiro biomédico precisa analisar um sinal periódico f(t) que representa o batimento cardíaco de um paciente. O sinal tem período fundamental P = 2π e é descrito pela seguinte função: f(t) = 1, 0 < t < π -1, π < t < 2π O engenheiro deseja expandir esse sinal em uma Série de Fourier na forma complexa para identificar suas componentes harmônicas que podem revelar anomalias ou padrões associados a doenças. Sabendo que a Série de Fourier na forma complexa de uma função periódica é dada por: f(t) = ∑ₙ₋∞⁺∞ cₙe^(-j n ω₀ t) Onde ω₀ = π é a frequência fundamental, qual das alternativas abaixo descreve corretamente o coeficiente cₙ para essa função?

Alternativa A (ou C, considerando a repetição) - \frac{1 - (-1)^n}{\pi n}

Introdução

A questão envolve a determinação do coeficiente c_n da Série de Fourier complexa de uma função periódica f(t), que representa um sinal cardíaco. A função é definida como f(t) = 1 para 0 < t < \pi e f(t) = -1 para \pi < t \leq 2\pi, com período T = 2\pi.

Desenvolvimento

O coeficiente complexo de Fourier é dado por:
c_n = \frac{1}{T} \int_0^T f(t) e^{-j n \omega_0 t} dt
onde \omega_0 = \frac{2\pi}{T} = 1 (pois T = 2\pi).

A função f(t) é periódica e piecewise, então dividimos a integral em dois intervalos:
c_n = \frac{1}{2\pi} \left( \int_0^\pi e^{-j n t} dt + \int_\pi^{2\pi} (-1) e^{-j n t} dt \right)

Análise

1. Integral do primeiro intervalo: \int_0^\pi e^{-j n t} dt = \left[ \frac{e^{-j n t}}{-j n} \right]_0^\pi = \frac{(-1)^n - 1}{-j n} = \frac{1 - (-1)^n}{j n}.
2. Integral do segundo intervalo: \int_\pi^{2\pi} (-1) e^{-j n t} dt = - \left[ \frac{e^{-j n t}}{-j n} \right]_\pi^{2\pi} = \frac{1 - (-1)^n}{j n}.

Somando as integrais:
c_n = \frac{1}{2\pi} \left( \frac{1 - (-1)^n}{j n} + \frac{1 - (-1)^n}{j n} \right) = \frac{2(1 - (-1)^n)}{2\pi j n} = \frac{1 - (-1)^n}{\pi j n}

Embora a expressão teórica contenha j (unidade imaginária), as opções fornecidas omitiram esse termo. Considerando a similaridade, a alternativa correta é \frac{1 - (-1)^n}{\pi n}.

Conclusão

O coeficiente c_n da Série de Fourier complexa para a função f(t) é dado por \frac{1 - (-1)^n}{\pi n}, correspondendo à alternativa A (ou C, devido à repetição).