Em relação aos métodos numéricos para integração, quais deles podem ser utilizados com passo variável?

Question

Em relação aos métodos numéricos para integração, quais deles podem ser utilizados com passo variável? A) Regra 1/3 de Simpson B) Regra 3/8 de Simpson C) Somente o Método dos Trapézios D) Método dos Trapézios e dos Retângulos.

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Alternativa D Método dos Trapézios e dos Retângulos. Introdução A questão aborda a aplicação de métodos de quadratura numérica (integração aproximada) e suas condições de uso, especificamente a possibilidade de utilizar passo variável . Para responder corretamente, é necessário entender como cada método calcula a área sob a curva e quais restrições geométricas eles impõem sobre a largura dos subintervalos ($h$). Desenvolvimento Na integração numérica, dividimos o intervalo de integração $[a, b]$ em $n$ subintervalos. A diferença crucial está em como tratamos esses subintervalos: 1. Métodos com Passo Constante (Padrão): Regra de Simpson (1/3 e 3/8): Estas regras derivam da interpolação polinomial de Lagrange (parábolas ou cúbicas). A Regra 1/3 exige que os pontos estejam igualmente espaçados para formar pares de intervalos. A Regra 3/8 exige três subintervalos iguais. Por isso: Aplicar essas fórmulas diretamente com passos variados (ex: $h 1 
eq h 2$) invalida a fórmula padrão, exigindo algoritmos complexos de adaptação. 2. Métodos com Flexibilidade de Passo: Método dos Retângulos (Ponto Médio ou Extremos): Aproxima a área por retângulos. Não há dependência de vizinhança para a altura do próximo retângulo; ele depende apenas do ponto central ou extremidade daquele subintervalo específico. Logo, é trivial mudar $h$ de um intervalo para o outro. Método dos Trapézios: Conecta pontos adjacentes com linhas retas. Embora a fórmula composta padrão use $h$ constante, a lógica subjacente (soma de áreas de trapézios individuais) permite calcular a área de cada trapézio individualmente com sua própria base $h i$. Isso torna a implementação de passo variável natural. Análise das Alternativas | Alternativa | Avaliação | Motivo | | : | : | : | | A) Regra 1/3 de Simpson | Incorreta | Exige passos iguais para aplicar a fórmula $\frac{h}{3}$. | | B) Regra 3/8 de Simpson | Incorreta | Exige passos iguais para aplicar a fórmula $\frac{3h}{8}$. | | C) Somente o Método dos Trapézios | Incorreta | Exclui erroneamente o Método dos Retângulos, que também suporta passo variável. | | D) Método dos Trapézios e dos Retângulos | Correta | Ambos permitem calcular a área de cada subintervalo independentemente, facilitando o uso de $h$ variável. | Conclusão Os métodos de Trapézios e Retângulos são os mais adequados para integrações com passo variável , pois suas fórmulas de área individual não dependem da igualdade de tamanho com os outros intervalos vizinhos, diferentemente das regras de Simpson que exigem regularidade espacial.

Explicação passo a passo

Introdução

Desenvolvimento

Análise das Alternativas

Conclusão

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Alternativa	Avaliação	Motivo
A) Regra 1/3 de Simpson	Incorreta	Exige passos iguais para aplicar a fórmula $\frac{h}{3}$ .
B) Regra 3/8 de Simpson	Incorreta	Exige passos iguais para aplicar a fórmula $\frac{3h}{8}$ .
C) Somente o Método dos Trapézios	Incorreta	Exclui erroneamente o Método dos Retângulos, que também suporta passo variável.
D) Método dos Trapézios e dos Retângulos	Correta	Ambos permitem calcular a área de cada subintervalo independentemente, facilitando o uso de $h$ variável.