Em sempre é possível determinar o valor de um limite de uma função. Em alguns casos, o limite pode não existir. Para verificar que um limite não existe, basta calcular seu valor por caminhos diferentes. Determine o valor de $\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^2 + y^2}{x^2}$ ou $\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^2 + y^2}{y^2}$

Análise Matemática

A questão apresenta um limite de uma função de duas variáveis:
\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 + y^2}{x^2}

Para determinar se esse limite existe, devemos observar que, em funções de várias variáveis, o limite só existe se for o mesmo para qualquer caminho que se aproxime do ponto (0,0). Se encontrarmos dois caminhos diferentes que levam a valores distintos, o limite não existe.

Passo 1: Testando o caminho ao longo do eixo X

Consideramos que nos aproximamos da origem mantendo y = 0 (movimento horizontal):
Substituímos y por $0$ na expressão:
\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 0^2}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2} = \lim_{x \to 0} 1 = 1
Neste caminho, o limite tende a 1.

Passo 2: Testando o caminho pela reta y = x

Consideramos que nos aproximamos da origem seguindo a linha diagonal onde y = x:
Substituímos y por x na expressão:
\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + x^2}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{x^2} = \lim_{x \to 0} 2 = 2
Neste caminho, o limite tende a 2.

Conclusão

Como obtivemos resultados diferentes dependendo do caminho escolhido ($1 \neq 2$), concluímos matematicamente que o limite não existe.

Analise das Alternativas

• Alternativas a, c, d e b: Propõem valores numéricos específicos ou infinito, o que contradiz nossa descoberta de que o valor depende do caminho.
• Alternativa e: Indica que o limite não existe (representado pelo símbolo incomum na imagem, mas logicamente correto neste contexto).

Alternativa E