Resumo da Resposta
A solução requer a conversão da função de transferência para a forma padrão de Bode, identificação dos polos e zeros, e construção da resposta assintótica em magnitude dividida por três faixas de frequência distintas.
Justificativa Didática
Para resolver este problema de engenharia de controle, precisamos seguir um método sistemático para analisar a resposta em frequência do sistema.
1. Padronização da Função de Transferência
O primeiro passo é reescrever a função de transferência G(s) de modo que cada termo de soma tenha um termo constante igual a 1. Isso facilita a identificação das frequências de corte.
A função dada é:
G(s) = \frac{10(s + 10)}{s(s + 100)}
Fatoramos os termos constantes dentro dos parênteses:
- Numerador: $10(s + 10) = 10 \cdot 10(1 + \frac{s}{10}) = 100(1 + \frac{s}{10})$
- Denominador: s(s + 100) = s \cdot 100(1 + \frac{s}{100}) = 100s(1 + \frac{s}{100})
Substituindo na equação original:
G(s) = \frac{100(1 + \frac{s}{10})}{100s(1 + \frac{s}{100})} = \frac{1}{s} \cdot \frac{(1 + \frac{s}{10})}{(1 + \frac{s}{100})}
Esta é a forma padrão, onde o ganho estático K = 1.
2. Identificação de Polos e Zeros
Com a forma padronizada, podemos listar os elementos críticos do sistema:
- Polos: Raízes do denominador.
- Polo na origem (s^1): Frequência de ruptura infinita, mas define a inclinação inicial.
- Polo real em s = -100: Frequência de corte \omega_p = 100 rad/s.
- Zeros: Raízes do numerador.
- Zero real em s = -10: Frequência de corte \omega_z = 10 rad/s.
3. Traçado do Diagrama de Bode (Magnitude)
A curva de magnitude é construída somando as contribuições assintóticas de cada polo e zero. O ganho em decibéis é calculado por $20\log|G(j\omega)|$.
Faixa 1: Baixas Frequências (\omega < 10 rad/s)
- Dominada pelo polo na origem ($1/s$).
- Inclinação: -20 dB/década.
- Valor de referência: Para facilitar, avaliamos em \omega = 1 rad/s.
|G(j1)| \approx \frac{1}{1} = 1 \Rightarrow 20\log(1) = 0 \text{ dB} - No ponto de transição \omega = 10:
20\log(\frac{1}{10}) = -20 \text{ dB}
Faixa 2: Médias Frequências ($10 < \omega < 100$ rad/s)
- O zero em \omega = 10 cancela a inclinação negativa do polo na origem.
- Nova inclinação: -20 + 20 = \mathbf{0 \text{ dB/década}} (Linha plana).
- Valor mantido: -20 dB.
Faixa 3: Altas Frequências (\omega > 100 rad/s)
- O polo em \omega = 100 adiciona novamente uma inclinação negativa.
- Nova inclinação: $0 - 20 = \mathbf{-20 \text{ dB/década}}$.
- Valor no início da faixa (\omega = 100): -20 dB.
- Exemplo no final (\omega = 1000): Desce mais 20 dB, ficando em -40 dB.
Tabela Resumo das Faixas
| Faixa de Frequência | Elemento Dominante | Inclinação (Slope) | Valor Aproximado (dB) |
|---|
| \omega < 10 | Polo na Origem | -20 dB/década | 0 dB (\omega=1) a -20 dB (\omega=10) |
| $10 < \omega < 100$ | Zero em 10 | 0 dB/década (Plano) | Constante em -20 dB |
| \omega > 100 | Polo em 100 | -20 dB/década | Começa em -20 dB (\omega=100) |
Conclusão
O diagrama de Bode resultante inicia descendo a -20 dB/década, torna-se plano em -20 dB após 10 rad/s e volta a descer a -20 dB/década após 100 rad/s. Este comportamento caracteriza um filtro passa-banda ou um sistema com compensação de fase, dependendo do contexto de aplicação.