Alternativa E
O problema apresentado é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem linear. Para resolvê-la, utilizamos o método do Fator Integrante.
Passo a Passo da Resolução
1. Identificação da Equação
A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é:
y' + P(x)y = Q(x)
No enunciado, temos:
y'(x) + \frac{1}{x}y(x) = x - 1
Identificando os termos:
- P(x) = \frac{1}{x}
- Q(x) = x - 1
2. Cálculo do Fator Integrante
O fator integrante \mu(x) é dado por e^{\int P(x) dx}.
\mu(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = x
(Consideramos x > 0 devido à condição inicial em x=1).
3. Solução Geral
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante x:
x \cdot y' + x \cdot \frac{1}{x}y = x(x - 1)
(xy)' = x^2 - x
Integramos ambos os lados em relação a x:
\int (xy)' dx = \int (x^2 - x) dx
xy = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + C
Isolando y(x):
y(x) = \frac{x^2}{3} - \frac{x}{2} + \frac{C}{x}
4. Aplicação da Condição Inicial
Utilizamos a condição y(1) = 0 para encontrar a constante C:
0 = \frac{1^2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{C}{1}
0 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + C
0 = \frac{2 - 3}{6} + C
0 = -\frac{1}{6} + C \Rightarrow C = \frac{1}{6}
Substituindo C na solução geral:
y(x) = \frac{x^2}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{6x}
Conclusão
Comparando nosso resultado com as alternativas, verificamos que ele corresponde exatamente à alternativa E.
| Alternativa | Função |
|---|
| (A) | y(x) = \frac{x^2}{3} - \frac{x}{2} + 1 |
| (B) | y(x) = -\frac{x^2}{3} + \frac{x}{2} + x |
| (C) | y(x) = x^2 - \frac{x}{2} + \frac{1}{x} |
| (D) | y(x) = -\frac{2x^2}{3} + 2x + 1 |
| (E) | $y(x) = \frac{x^2}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{6x}$ |