Funções periódicas têm um padrão que se repete em intervalos regulares, o que permite modelar fenômenos cíclicos. Considere a função f(x) definida em R que é periódica com período T=4, ou seja, f(x+4)=f(x) para x ∈ R. Se f(2)=5, qual é o valor de f(6)?

Alternativa A - 5

Para resolver esta questão, precisamos entender a propriedade fundamental das funções periódicas.

Conceito de Periodicidade

Uma função é considerada periódica quando seus valores se repetem em intervalos regulares definidos pelo período T. A definição matemática é dada pela fórmula:

Isso significa que, se você deslocar o valor de entrada x por uma quantidade igual ao período T, o resultado da função permanecerá o mesmo.

Análise do Problema

No enunciado, temos as seguintes informações:

• O período da função é T = 4.
• Sabemos que f(2) = 5.
• Queremos encontrar o valor de f(6).

Podemos observar a relação entre os valores de x (2 e 6):

• Valor inicial: x = 2
• Valor desejado: x' = 6
• Diferença: $6 - 2 = 4$

Note que a diferença entre os valores de entrada é exatamente igual ao período da função (T=4). Portanto, podemos aplicar a propriedade da periodicidade:

Como f(x + 4) = f(x), temos:

Substituindo o valor conhecido de f(2):

Conclusão

O valor de f(6) é idêntico ao valor de f(2), pois estão separados por exatamente um período. Assim, a resposta correta é 5, correspondente à alternativa A.