h(x)=3x-4/(2-x), determine: domínio, contradomínio e imagem, assíntotas, paridade, extremo, ponto extremo e monotonia, inflexão, ponto de inflexão e concavidade e esboce o gráfico.

Resposta:

Domínio

O domínio da função h(x) = \frac{3x - 4}{2 - x} é todos os valores de x onde a função está definida. O denominador não pode ser zero, então 2 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 2.
Domínio: (-\infty, 2) \cup (2, \infty).

Contradominio e Imagem

Para encontrar o contradominio, resolvemos y = \frac{3x - 4}{2 - x} para x:
y(2 - x) = 3x - 4 \Rightarrow 2y + 4 = x(3 + y) \Rightarrow x = \frac{2y + 4}{3 + y}.
O denominador 3 + y \neq 0 \Rightarrow y \neq -3. Portanto, o contradominio é todos os reais exceto -3.
A imagem coincide com o contradominio, pois para todo y \neq -3, existe um x que a mapeia.
Contradominio e Imagem: (-\infty, -3) \cup (-3, \infty).

Assíntotas

• Vertical: O denominador é zero em x = 2, então x = 2 é uma assíntota vertical.
• Horizontal: Ao analisar os limites \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x - 4}{2 - x}, obtemos -3. Portanto, y = -3 é uma assíntota horizontal.
• Oblíqua: Não há, pois os graus do numerador e denominador são iguais (ambos 1).

Paridade

A função é neither par nor ímpar. Verificamos:
h(-x) = \frac{-3x - 4}{2 + x}, que não é igual a h(x) ou -h(x).

Extremo, Ponto Extremo e Monotonia

• Derivada primeira: h'(x) = \frac{2}{(2 - x)^2}, sempre positiva (numerador 2 > 0, denominador quadrado > 0).
• Monotonia: A função é estritamente crescente em (-\infty, 2) e (2, \infty).
• Extremos: Não há, pois a derivada nunca é zero (não existem pontos críticos).

Inflexão, Ponto de Inflexão e Concavidade

• Segunda derivada: h''(x) = \frac{4}{(2 - x)^3}.
• Para x < 2: (2 - x)^3 > 0 \Rightarrow h''(x) > 0 (concava para cima).
• Para x > 2: (2 - x)^3 < 0 \Rightarrow h''(x) < 0 (concava para baixo).
• Ponto de inflexão: Não há, pois a segunda derivada nunca é zero (não há alteração de concavidade em um ponto definido).

Esboço do Gráfico

• Assíntotas: Vertical em x = 2 e horizontal em y = -3.
• Comportamento nos extremos do domínio:
• x \to 2^-: h(x) \to +\infty (aproxima-se de +\infty pela esquerda).
• x \to 2^+: h(x) \to -\infty (aproxima-se de -\infty pela direita).
• Aproximação as \pm\infty: h(x) \to -3.
• Monotonia e concavidade: Estritamente crescente, concava para cima em (-\infty, 2) e concava para baixo em (2, \infty).

Conclusão: A função h(x) = \frac{3x - 4}{2 - x} tem domínio (-\infty, 2) \cup (2, \infty), contradominio e imagem (-\infty, -3) \cup (-3, \infty), assíntotas x = 2 e y = -3, é neither par nor ímpar, estritamente crescente, sem extremos ou pontos de inflexão, e concava alternadamente.