Imagine um sistema massa-mola na vertical. A mola tem uma constante de elasticidade k = 128 N/m. Um corpo de 6,4 kg é preso em sua extremidade. Ao se prender esse corpo, a mola fica em equilíbrio estático. Após esse equilíbrio, a mola é esticada para uma distância total de 0,7 m. Determine a equação do posicionamento da mola com o tempo. Considere g = 10 m/s².

Introdução

O problema descreve um sistema massa-mola vertical, onde a mola está em equilíbrio estático com o corpo preso. Após isso, a mola é esticada e solta, gerando movimento harmônico simples (MHS).

Desenvolvimento

1. Posição de equilíbrio estático

• Força peso: P = mg = 6,4 kg 10 m/s² = 64 N
• No equilíbrio, a força elástica equilibra o peso: k*x₀ = P → x₀ = P/k = 64/128 = 0,5 m
• Posição de equilíbrio: 0,5 m abaixo do ponto de fixação da mola.

2. Amplitude do movimento

• A mola é esticada para uma distância total de 0,7 m (do ponto de fixação).
• Como o equilíbrio está em 0,5 m, a amplitude A é a diferença: A = 0,7 m - 0,5 m = 0,2 m.
• Amplitude: A = 0,2 m.

3. Frequência angular

• Frequência angular: ω = √(k/m) = √(128/6,4) = √20 = 2√5 rad/s.

4. Equação do movimento

• O movimento é harmônico simples em torno da posição de equilíbrio.
• Equação geral: x(t) = x₀ + A*cos(ωt + φ)
• Condição inicial: no t=0, a mola está esticada em 0,7 m (máximo). Isso corresponde a um deslocamento máximo positivo (abaixo do equilíbrio).
• Portanto, φ = 0 (cos(0)=1).
• Equação final: x(t) = 0,5 + 0,2*cos(2√5 t) metros.

Análise

• Posição de equilíbrio: x₀ = 0,5 m (abaixo do ponto de fixação)
• Amplitude: A = 0,2 m
• Frequência angular: ω = 2√5 rad/s
• Equação: x(t) = 0,5 + 0,2*cos(2√5 t)

Conclusão

A equação do posicionamento da mola com o tempo é **x(t) = 0,5 + 0,2*cos(2√5 t)** metros, onde t está em segundos.