Alternativa B - F - F - V - V
Para resolver esta questão, devemos analisar cada um dos quatro limites apresentados, aplicando as regras de cálculo de limites de variáveis complexas.
Análise Detalhada
Vamos calcular cada afirmação individualmente para determinar se é Verdadeira (V) ou Falsa (F).
1. Primeiro Limite
\lim_{z \to i} \frac{z^2+3}{5z^2}
Substituímos diretamente z = i:
- Sabemos que i^2 = -1.
- Numerador: i^2 + 3 = -1 + 3 = 2.
- Denominador: $5(i^2) = 5(-1) = -5$.
O resultado é:
\frac{2}{-5} = -\frac{2}{5}
A afirmação diz que o limite é -\frac{2}{5i}. Como -\frac{2}{5} \neq -\frac{2}{5i}, esta afirmação está FALSA.
2. Segundo Limite
\lim_{z \to i} \frac{1}{z^2+1}
Substituímos diretamente z = i:
- Denominador: i^2 + 1 = -1 + 1 = 0.
- Numerador: $1$.
Temos uma divisão por zero (\frac{1}{0}), o que indica que o limite tende ao infinito (não existe como um número finito). Ele certamente não é igual a $1$. Portanto, esta afirmação está FALSA.
3. Terceiro Limite
\lim_{z \to \infty} \frac{z^3+z^2}{3z^2+z}
Trata-se de um limite no infinito de uma função racional. Comparamos os graus dos polinômios:
- Grau do numerador (z^3): 3
- Grau do denominador ($3z^2$): 2
Como o grau do numerador é maior que o grau do denominador, o valor da fração cresce indefinidamente.
\lim_{z \to \infty} \frac{z^3}{3z^2} = \lim_{z \to \infty} \frac{z}{3} = \infty
Portanto, esta afirmação está VERDADEIRA.
4. Quarto Limite
\lim_{z \to \infty} \frac{5z^2+z^1}{3z^2+z}
Novamente, analisamos os graus dos polinômios:
- Grau do numerador ($5z^2$): 2
- Grau do denominador ($3z^2$): 2
Quando os graus são iguais, o limite é dado pela razão entre os coeficientes dos termos de maior grau:
\text{Limite} = \frac{\text{Coeficiente } z^2 \text{ num}}{\text{Coeficiente } z^2 \text{ den}} = \frac{5}{3}
Portanto, esta afirmação está VERDADEIRA.
Conclusão
A sequência correta das afirmações, de cima para baixo, é:
- Falso
- Falso
- Verdadeiro
- Verdadeiro
Isso resulta na sequência F - F - V - V, que corresponde à Alternativa B.