Let $x = \sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{j(j+1)}$. The value of $x$ is

Alternativa C

Análise Matemática

O problema solicita o cálculo do valor de uma série infinita definida pela expressão:
x = \sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{j(j+1)}

Esta é uma clássica série telescópica, caracterizada pelo cancelamento sequencial de seus termos internos.

Desenvolvimento

1. Decomposição em Frações Parciais
   O termo geral da série pode ser separado em duas frações simples usando álgebra:
   \frac{1}{j(j+1)} = \frac{1}{j} - \frac{1}{j+1}
   Verificação: \frac{1}{j} - \frac{1}{j+1} = \frac{j+1 - j}{j(j+1)} = \frac{1}{j(j+1)}.
2. Expansão da Soma Parcial
   Se considerarmos a soma dos primeiros n termos (S_n), temos:

• Quando j=1: $1 - \frac{1}{2}$
• Quando j=2: \frac{1}{2} - \frac{1}{3}
• Quando j=3: \frac{1}{3} - \frac{1}{4}
• ...
• Quando j=n: \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}

Somando esses termos, observa-se o padrão de cancelamento:
S_n = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)

1. Cancelamento e Limite
   Todos os termos intermediários se anulam (ex: -\frac{1}{2} com +\frac{1}{2}). Restam apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo:
   S_n = 1 - \frac{1}{n+1}

Para encontrar o valor da série infinita, aplicamos o limite quando n tende ao infinito:
x = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) = 1 - 0 = 1

Conclusão

O valor calculado para x é 1. Analisando as opções apresentadas na imagem:

Portanto, a resposta correta é a Alternativa C.