lim x→−1 (x² + 4x + 3) / (x² + 1)

Como a imagem não apresenta as alternativas de múltipla escolha, apresento a resolução completa para determinar o valor exato do limite.

Resumo da Resposta
O valor do limite é 0, pois a função é contínua no ponto x = -1, permitindo a substituição direta dos valores.

Justificativa Didática

Para calcular o limite \lim_{x \to -1} \frac{x^2 + 4x + 3}{x^2 + 1}, utilizamos o método de substituição direta, verificando se a expressão resulta em uma forma indeterminada.

1. Análse do Denominador:
   Verificamos primeiro o valor do denominador ao aproximar-se de -1:
   x^2 + 1 = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2
   Como o denominador é diferente de zero ($2 \neq 0$), não há divisão por zero.
2. Cálculo do Numerador:
   Substituímos x = -1 na parte superior da fração:
   x^2 + 4x + 3 = (-1)^2 + 4(-1) + 3
   = 1 - 4 + 3 = 0
3. Aplicação do Teorema do Limite:
   Como o denominador é não nulo, a função é contínua neste ponto. Podemos aplicar a propriedade do quociente de limites:
   \lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to -1} f(x)}{\lim_{x \to -1} g(x)} = \frac{0}{2} = 0

Análise Detalhada

Diferente de casos onde temos \frac{0}{0} (forma indeterminada), aqui não precisamos usar regra de L'Hôpital ou fatoração. O numerador se anula, mas o denominador mantém-se positivo, resultando em um valor finito.

Conclusão
O limite existe e seu valor numérico é 0.