Marque a alternativa correta em relação às séries $sn = rac{\infty (k+1)^{n+1}}{(k+1)!}$ e $tn = \sum_{k=1}^{\infty} e^{k+1} / k+1!$.

Alternativa C - A série s_n é divergente e t_n é convergente.

Para determinar o comportamento de convergência das séries apresentadas, precisamos analisar o limite dos seus termos gerais utilizando critérios como o Teste do Termo Geral, o Teste da Razão ou a Aproximação de Stirling.

Análise Detalhada

1. Análise da Série s_n

A primeira série é dada por:
s_n = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(k+1)^{k+1}}{(k+1)!}

Para verificar se ela converge, aplicamos o Critério Necessário de Convergência (teste do termo geral). Se o limite do termo geral a_k quando k \to \infty não for zero, a série diverge.

Utilizando a aproximação de Stirling para fatoriais (n! \approx \sqrt{2\pi n} \cdot (\frac{n}{e})^n):

• O numerador cresce como (k+1)^{k+1}.
• O denominador cresce aproximadamente como (\frac{k+1}{e})^{k+1}.

O termo geral comporta-se assintoticamente como:
\lim_{k \to \infty} \frac{(k+1)^{k+1}}{(k+1)!} \approx \lim_{k \to \infty} \frac{(k+1)^{k+1}}{\sqrt{2\pi(k+1)} \cdot \frac{(k+1)^{k+1}}{e^{k+1}}} = \lim_{k \to \infty} \frac{e^{k+1}}{\sqrt{2\pi(k+1)}}

Como e^{k+1} tende ao infinito muito mais rápido que a raiz quadrada no denominador, temos:
\lim_{k \to \infty} a_k = \infty \neq 0

Portanto, a série s_n é divergente.

2. Análise da Série t_n

A segunda série é dada por (interpretando a notação padrão de séries onde o fatorial abrange o termo anterior):
t_n = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{4^{k+2}}{(k+1)!}
(Nota: Embora esteja escrito k+1!, no contexto acadêmico de análise de séries, isso representa (k+1)!. Caso fosse k+1, a série divergia, mas a alternativa C é a que melhor distingue os comportamentos típicos de crescimento).

Aplicamos o Teste da Razão (D'Alembert):
L = \lim_{k \to \infty} \left| \frac{b_{k+1}}{b_k} \right| = \lim_{k \to \infty} \frac{4^{k+3}}{(k+2)!} \cdot \frac{(k+1)!}{4^{k+2}}

Simplificando os termos:

• Potências de 4: \frac{4^{k+3}}{4^{k+2}} = 4
• Fatoriais: \frac{(k+1)!}{(k+2)!} = \frac{1}{k+2}

O limite torna-se:
L = \lim_{k \to \infty} \frac{4}{k+2} = 0

Como o limite L = 0 é menor que 1 (L < 1), a série converge absolutamente.

Portanto, a série t_n é convergente.

Resumo Comparativo

Conclusão

Com base na análise, concluímos que a primeira série diverge enquanto a segunda converge. Isso confirma a Alternativa C como a resposta correta.