Marque a alternativa correta em relação às séries $sn = rac{(k+1)^{k+1}}{(k+1)!}$ e $tn = rac{3^{k+2}}{k+1!}$.

Alternativa C - A série s_n é divergente e t_n é convergente.

Análise da Série s_n

Primeiro, analisamos a série definida por:
s_n = \sum_{1}^{\infty} \frac{(k+1)^{k+1}}{(k+1)!}

Para determinar a convergência, utilizamos o Teste da Razão (ou Teste de D'Alembert). Seja a_k = \frac{(k+1)^{k+1}}{(k+1)!}. Calculamos o limite da razão entre termos consecutivos:

Simplificando os fatoriais e as potências:
= \lim_{k \to \infty} \frac{(k+2)^{k+2}}{(k+1)^{k+1}(k+2)} = \lim_{k \to \infty} \frac{(k+2)^{k+1}}{(k+1)^{k+1}}
= \lim_{k \to \infty} \left( \frac{k+2}{k+1} \right)^{k+1} = \lim_{k \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{k+1} \right)^{k+1}

Sabemos que este limite resulta em e (número de Euler). Como e \approx 2,718 > 1, a série diverge.

Análise da Série t_n

A segunda série é dada por:
t_n = \sum_{1}^{\infty} \frac{3^{k+2}}{k+1!}

Considerando o contexto matemático padrão de séries exponenciais, a notação k+1! deve ser interpretada como (k+1)!. O termo geral é b_k = \frac{3^{k+2}}{(k+1)!}.

Aplicando novamente o Teste da Razão:
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{b_{k+1}}{b_k} \right| = \lim_{k \to \infty} \frac{3^{k+3}}{(k+2)!} \cdot \frac{(k+1)!}{3^{k+2}}

Simplificando as potências de 3 e os fatoriais:
= \lim_{k \to \infty} \frac{3^{k+3}}{3^{k+2}} \cdot \frac{(k+1)!}{(k+2)(k+1)!}
= \lim_{k \to \infty} 3 \cdot \frac{1}{k+2} = 0

Como o limite é $0 < 1$, a série converge. Este resultado também pode ser entendido relacionando a série à expansão de Maclaurin para e^x.

Conclusão

• A série s_n possui crescimento superior ao fatorial no numerador, levando à divergência.
• A série t_n tem um termo fatorial no denominador que domina o crescimento exponencial do numerador, garantindo a convergência.

Portanto, a alternativa correta é aquela que indica s_n divergente e t_n convergente.