Marque a alternativa correta em relação às séries $sn = rac{(k+1)^{k+1}}{(k+1)!}$ e $tn = rac{k^{k+2}}{(k+1)!}$:

Alternativa A - Ambas são divergentes.

Análise da Questão

Para determinar a convergência ou divergência de uma série infinita, devemos primeiro observar o comportamento do seu termo geral quando k tende ao infinito.

Existem duas séries apresentadas no enunciado:

1. s_n = \sum_{1}^{\infty} \frac{(k+1)^{k+1}}{(k+1)!}
2. t_n = \sum_{1}^{\infty} \frac{k^{k+2}}{(k+1)!} (Considerando a notação padrão de fatorial no denominador).

Critério Necessário para Convergência

Um princípio fundamental das séries numéricas afirma que, para que uma série \sum a_k seja convergente, é obrigatório que o limite do seu termo geral seja zero:
\lim_{k \to \infty} a_k = 0

Se esse limite for diferente de zero ou infinito, a série é necessariamente divergente.

Análise da Série s_n

O termo geral desta série é a_k = \frac{(k+1)^{k+1}}{(k+1)!}.

Comparando o crescimento do numerador e do denominador:

• O numerador é uma função exponencial com base linear (k+1 elevado a si mesmo).
• O denominador é um fatorial ((k+1)!).

Embora o fatorial cresça muito rápido, neste caso específico, a potência no numerador compensa o fatorial. Utilizando a fórmula de Stirling (n! \approx \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n), podemos aproximar o comportamento:
a_k \approx \frac{(k+1)^{k+1}}{\sqrt{2\pi(k+1)} \left(\frac{k+1}{e}\right)^{k+1}} = \frac{e^{k+1}}{\sqrt{2\pi(k+1)}}

Quando k \to \infty, o valor de e^{k+1} cresce exponencialmente, enquanto a raiz quadrada no denominador cresce muito lentamente. Portanto:
\lim_{k \to \infty} a_k = \infty \neq 0
Logo, a série s_n é divergente.

Análise da Série t_n

O termo geral é b_k = \frac{k^{k+2}}{(k+1)!}.

Aplicando a mesma lógica de comparação de crescimento:

• O numerador contém k elevado a uma potência superior (k+2).
• O denominador é o fatorial de k+1.

Novamente, o termo geral não tende a zero. Podemos notar que:
b_k = \frac{k \cdot k^{k+1}}{(k+1)!}
Mesmo considerando o fatorial, o crescimento da exponencial pura no numerador domina o crescimento do fatorial neste arranjo específico, fazendo com que o termo geral tenda ao infinito:
\lim_{k \to \infty} b_k = \infty \neq 0
Logo, a série t_n também é divergente.

Conclusão

Como analisamos ambos os casos e verificamos que o limite dos termos gerais não é zero (ambos tendem ao infinito), nenhuma das séries satisfaz a condição necessária para convergência.

Portanto, a alternativa correta é a A, indicando que ambas as séries são divergentes.