Marque a alternativa correta em relação às séries $sn = rac{\sum{k=1}^{\infty} (k+1)^{k+1}}{(k+1)!} e tn = \sum{k=1}^{\infty} \frac{3}{k+1!}$.

Alternativa C - A série s_n é divergente e t_n é convergente.

Introdução

O objetivo desta questão é determinar o comportamento de convergência de duas séries infinitas utilizando critérios específicos de análise matemática, como o Teste do Quociente (d'Alembert).

Vamos analisar cada série individualmente para encontrar o limite do quociente entre termos consecutivos.

Desenvolvimento

1. Análise da Série s_n

A série apresentada é:
s_n = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(k+1)^{k+1}}{(k+1)!}
(Nota: Consideramos o expoente como k+1 para fazer sentido matemático com a variável de soma k).

Aplicamos o Teste do Quociente, calculando o limite L = \lim_{k \to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right|:

• Termos: a_k = \frac{(k+1)^{k+1}}{(k+1)!} e a_{k+1} = \frac{(k+2)^{k+2}}{(k+2)!}
• Quociente:
  \frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{(k+2)^{k+2}}{(k+2)!} \cdot \frac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}
• Simplificando o fatorial \frac{(k+1)!}{(k+2)!} = \frac{1}{k+2}:
  \frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{(k+2)^{k+2}}{(k+2)(k+1)^{k+1}} = \frac{(k+2)^{k+1}}{(k+1)^{k+1}} = \left( \frac{k+2}{k+1} \right)^{k+1}
• Reescrevendo o termo interno:
  \left( \frac{k+1+1}{k+1} \right)^{k+1} = \left( 1 + \frac{1}{k+1} \right)^{k+1}
• O limite conhecido é:
  L = \lim_{k \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{k+1} \right)^{k+1} = e \approx 2,718

Como L = e > 1, a série s_n é divergente.

2. Análise da Série t_n

A série apresentada é:
t_n = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{3^{k+2}}{(k+1)!}

Novamente, aplicamos o Teste do Quociente:

• Termos: b_k = \frac{3^{k+2}}{(k+1)!} e b_{k+1} = \frac{3^{k+3}}{(k+2)!}
• Quociente:
  \frac{b_{k+1}}{b_k} = \frac{3^{k+3}}{(k+2)!} \cdot \frac{(k+1)!}{3^{k+2}}
• Simplificando potências e fatoriais:
  \frac{3^{k+3}}{3^{k+2}} = 3 \quad \text{e} \quad \frac{(k+1)!}{(k+2)!} = \frac{1}{k+2}
• Resultado:
  \frac{b_{k+1}}{b_k} = \frac{3}{k+2}
• O limite quando k \to \infty:
  L = \lim_{k \to \infty} \frac{3}{k+2} = 0

Como L = 0 < 1, a série t_n é convergente.
(Outra forma de ver: esta série é parte da expansão de Taylor de e^x para x=3, que sempre converge).

Análise Final

Portanto, a única afirmação correta é que a série s_n é divergente e a série t_n é convergente.

Conclusão

A alternativa correta é a C.