Marque a alternativa que apresenta a transformada de Laplace para função f(t) = senh(2t)+cosh(2t).

Question

Marque a alternativa que apresenta a transformada de Laplace para função f(t) = senh(2t)+cosh(2t). A) z/s² 4 B) 1/(s 2) C) z/(s+!) D) z/s²+4 E) s/s² 4

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Alternativa B A questão solicita a Transformada de Laplace da função $f(t) = \sinh(2t) + \cosh(2t)$. Para resolver corretamente, é fundamental simplificar a expressão da função antes de aplicar as fórmulas de transformação, utilizando as definições exponenciais das funções hiperbólicas. Desenvolvimento Primeiro, lembre se das definições de Seno Hiperbólico ($\sinh$) e Cosseno Hiperbólico ($\cosh$) em termos de funções exponenciais: $$\sinh(x) = \frac{e^x e^{ x}}{2}$$ $$\cosh(x) = \frac{e^x + e^{ x}}{2}$$ Substituindo essas definições na função dada ($x = 2t$): $$f(t) = \frac{e^{2t} e^{ 2t}}{2} + \frac{e^{2t} + e^{ 2t}}{2}$$ Ao somar os termos, observe que $ e^{ 2t}$ e $+e^{ 2t}$ se cancelam: $$f(t) = \frac{2e^{2t}}{2} = e^{2t}$$ Agora, aplicamos a propriedade da Transformada de Laplace para uma função exponencial da forma $e^{at}$. A fórmula é: $$\mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s a}$$ No nosso caso, $a = 2$. Portanto: $$\mathcal{L}\{e^{2t}\} = \frac{1}{s 2}$$ Análise Identidade Chave : A soma $\sinh(x) + \cosh(x)$ é igual a $e^x$. Esta é uma relação direta que simplifica drasticamente o problema. Propriedade Linear : Embora pudéssemos transformar cada parte separadamente ($\frac{2}{s^2 4} + \frac{s}{s^2 4}$), o resultado final seria a mesma fração racional $\frac{s+2}{s^2 4}$, que simplifica para $\frac{1}{s 2}$. Comparativo das Opções : A opção A ($\frac{2}{s^2 4}$) seria apenas a transformada de $\sinh(2t)$. A opção E ($\frac{s}{s^2 4}$) seria apenas a transformada de $\cosh(2t)$. A opção B corresponde ao resultado simplificado $\frac{1}{s 2}$ (considerando a leitura da imagem onde o denominador é $s 2$). Conclusão A resposta correta é a Alternativa B , pois a transformada da função $f(t) = \sinh(2t) + \cosh(2t)$ resulta em $\frac{1}{s 2}$.

Explicação passo a passo

Desenvolvimento

Análise

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